Читать «K читателям русского издания» онлайн - страница 165
ves
W=-U=Fxx. (14.9)
Мы просто применили формулу ∫F•ds=-U для очень
малых расстояний. Теперь разделим на x и обнаружим, что сила равна
Fx=-u/x. (14.10)
Конечно, это не совсем точно. На самом деле нам нужно перейти в (14.10) к пределу при x, стремящемся к нулю, потому что (14.10) точно соблюдается только для бесконечно малых x. Мы узнаем в правой части (14.10) производную U по х и хотим написать -dUldx. Но U зависит и от х, и от у, и от z, и для такого случая математики придумали другое обозначение, которое рассчитано на то, чтобы напоминать нам, что надо быть очень осторожным, дифференцируя такую функцию. Этот символ напоминает, что только х считается изменяющимся, а у и z – нет. Вместо d они просто пишут «6 навыворот», или д. (По-моему, когда начинаешь изучать дифференциальные исчисления, то вообще лучше работать с д, а не с d; d всегда хочется сократить, а вот на д как-то рука не поднимается!) Итак, они пишут dU/dx, а иногда в припадке строгости, желая быть очень бдительными, они ставят за дх скобку с маленькими у, z внизу (dU/dx)yz, что означает: «Продифференцируй U по х, считая у и z постоянными». Но мы чаще всего не будем отмечать, что осталось постоянным, из контекста это всегда можно понять. Но зато всегда будем писать д вместо d как предупреждение о том, что эта производная берется при постоянных значениях прочих переменных. Ее называют частной производной, т. е. производной, для вычисления которой меняют часть переменных, х.
Итак, мы обнаруживаем, что сила в направлении х равна минус частной производной U по х:
Fx=-дU/дx (14.11)
Точно так же и сила в направлении у получается дифференцированием U по у при постоянных х и z, а третья составляющая силы опять-таки есть производная по z при х и у постоянных:
В этом и состоит способ получать силу из потенциальной энергии. Поле получается из потенциала в точности так же:
Заметим, кстати, что существует и другое обозначение (впрочем, пока оно нам не понадобится). Так как С есть вектор с компонентами х, у, z, то символы д/дх, д/ду, d/dz, дающие х-, у-, z-компоненты поля, чем-то напоминают векторы. Математики изобрели знаменитый символ , или grad, называемый «градиентом»; это не величина, а оператор, он делает из скаляра вектор. У него есть три составляющие: x-компонента этого grad есть д/дх, y-компонента – д/ду, а z-компонента– d/dz, и мы можем позабавиться, переписав наши формулы в виде
Глядя на ; мы мгновенно узнаем, что наши уравнения векторные; но на самом деле уравнение (14.14) означает в точности то же, что и (14.11) и (14.12); просто это другой способ записи. Не желая писать каждый раз три уравнения, мы пишем одно лишь U.
Еще один пример полей и потенциалов связан с электричеством. В этом случае сила, действующая на неподвижное тело, равна заряду, умноженному на поле: F = qЕ. (В x-составляющую силы входят, вообще говоря, и члены, которые зависят от магнитного поля. Но из уравнения (12.10) легко увидеть, что сила, действующая на частицу со стороны магнитных полей, всегда направлена поперек поля и поперек ее скорости. Благодаря этому свойству магнетизм не производит никакой работы над движущимся зарядом, потому что сила перпендикулярна перемещению. Значит, вычисляя кинетическую энергию в электрическом и магнитном полях, можно пренебречь вкладом магнитного поля, так как оно не изменяет кинетической энергии.) Положим, что имеется только электрическое поле. Тогда мы можем рассчитать энергию или произведенную работу точно таким же способом, как и для тяготения: вычислить величину , равную минус интегралу от Е•ds от произвольной фиксированной точки Р до точки, в которой вычисляется потенциал; тогда потенциальная энергия в электрическом поле равна просто произведению заряда на эту величину :
