Читать «K читателям русского издания» онлайн - страница 164
ves
Зная в каждой точке пространства эту функцию (х, y, z), можно немедленно вычислить потенциальную энергию тела в любой точке, а именно U(x, у, z) – m (х, у, z). Теперь, как видите, это стало делом пустяковым. Но на самом деле это отнюдь не пустяк, потому что иногда намного приятнее описать поле, задав распределение потенциала во всем пространстве, чем задавать С. Вместо трех сложных компонент векторной функции проще задать скалярную функцию . Кроме того, когда поле создается многими массами, величину рассчитывать легче, чем три компоненты С: потенциалы–скаляры, их можно просто складывать, не заботясь о направлениях сил. А поле С, как мы сейчас увидим, легко восстановить, зная . Пусть у нас есть точечные массы m1, m2,... в точках 1, 2..., и мы хотим знать потенциал в некоторой произвольной точке Р. Тогда он оказывается простой суммой потенциалов отдельных масс в точке Р:
Этой формулой, представляющей потенциал в виде суммы потенциалов отдельных масс, мы пользовались в предыдущей главе, чтобы вычислить потенциал сферического слоя (мы тогда сложили потенциалы всех поясков, на какие был нарезан слой). Итог расчета показан на фиг. 14.4.
Фиг. 14.4. Потенциал тяготеющего сферического слоя радиусом а.
Потенциал отрицателен, равен нулю на бесконечности, падает как 1/r, пока r не станет равным а, и затем внутри слоя становится постоянным. Вне слоя потенциал равен –Gm/r (т– масса слоя), что полностью совпадает с потенциалом точки с массой т, помещенной в центре сферического слоя. Но такое совпадение существует только для точек снаружи слоя, а во внутренних точках потенциал оказывается равным –Gm/a и больше не меняется! А когда потенциал постоянен, то поля нет: если потенциальная энергия не меняется, то сила отсутствует, потому что, когда мы двигаем тело из одной внутренней точки в другую, работа, выполняемая силой, в точности равна нулю. Почему? Да потому, что работа передвижения тела из одной точки в другую равна минус изменению потенциальной энергии (или соответствующий интеграл от поля равен изменению потенциала). Но потенциальная энергия в обеих точках одинакова, значит, ее изменение равно нулю, и поэтому никакой работы при любых движениях внутри сферического слоя не производится. А это возможно лишь тогда, когда внутри слоя нет никаких сил.
В этих рассуждениях кроется ключ к вычислению силы или напряженности поля, когда потенциальная энергия известна.
Пусть потенциальная энергия тела в точке (х, у, z) дана, а мы хотим узнать, какая сила действует на него в этой точке. Для этого нужно знать потенциал не только в этой точке, но и в соседних. Почему? Попробуем вычислить x-компоненту силы (если мы это сумеем сделать, то точно таким же способом мы вычислим и у- и z-компоненты, определив тем самым всю силу). Если б мы сдвинули тело на малое расстояние x, то работа, произведенная силой над телом, равнялась бы x-компоненте силы, умноженной на x (если x достаточно мало), и должна была бы быть равна изменению потенциальной энергии при переходе от одной точки к другой: