Читать «K читателям русского издания» онлайн - страница 131

а_┴=v(d/dt).

Теперь нам нужно знать /t. Эту величину можно найти так: если в данный момент кривую можно приблизительно заменить окружностью радиусом R, то, поскольку за время t частица пройдет расстояние s=vt, изменение угла равно

=v(t/R) или /t=v/R.

Таким образом, как мы уже установили ранее,

a=v²/R. (11.16)

§ 7. Скалярное произведение векторов

Давайте еще немного займемся свойствами векторов. Легко понять, что длина шага в пространстве одинакова во всех ко­ординатных системах. Следовательно, если какому-то шагу r соответствуют составляющие х, у, z в одной системе координат и составляющие х', у', z' в другой системе, то расстояние r= |r| одно и то же в обеих системах. Сначала мы, конечно, долж­ны ввести два расстояния,

а затем проверить, что эти обе величины равны. Чтобы не во­зиться с квадратным корнем, будем сравнивать квадраты рас­стояний. Мы должны, таким образом, показать, что

x²+у²+ z²=x'²+у'²+ г'². (11.17)

Подставив в это уравнение определяемые соотношением (11.5) значения ж', у', z', мы увидим, что это действительно так. Зна­чит, кроме уже изученных нами векторных уравнений, суще­ствуют еще какие-то соотношения, верные в любой системе ко­ординат.

Незаметно мы получили новый тип величин. Мы можем по­строить функцию х, у и z, называемую скалярной функцией,– величину, которая не имеет направления, и одинакова в обеих системах координат. Из вектора можно построить скаляр. Хорошо бы найти общее правило для этого построения. Соб­ственно говоря, мы уже нашли это правило: надо возвести в квадрат каждую из составляющих вектора и сложить их. Опре­делим теперь новую величину, которую обозначим а•а. Это не вектор, а скаляр; это число, одинаковое во всех координатных системах и определяемое как сумма квадратов трех составляю­щих вектора:

a•a=a²_x+ a²_y+a²_z. (11.18)

Вы спросите: «В какой системе координат?» Но раз это число не зависит от системы координат, то ответ одинаков в любой системе координат. Мы имеем дело с новым видом величины, с инвариантом, или скаляром, полученным «возведением вектора в квадрат». Если теперь определить, исходя из векторов а и b, величину

a•b=a_xb_x+a_yb_y+ a_zb_z, (11.19)

то можно убедиться, что эта величина совпадает в штрихованной и нештрихованной системах координат. Чтобы доказать это, заметим, что это верно для величин а•а, b•b и с•с, где с=а+b. Сумма квадратов (a_x+b_x)²+(a_y+b_y)²+(a_z+b_z)² –ин­вариант:

(а_x+b_x)²+(а_y+b_y)2+(а_z+b_г)² = (а_x'+b_x')² + (a_y'+b_у')²+(a_z,+b_z')². (11.20)

Раскроем скобки в обеих сторонах этого уравнения. Перекрест­ные произведения дадут нам выражения типа (11.19), а суммы квадратов составляющих а и b – выражения (11.18). Инва­риантность слагаемых типа (11.18) приводит к инвариантности перекрестных произведений типа (11.19).

Величина а•b называется скалярным произведением двух векторов а и b и имеет много интересных и полезных свойств. Например, легко доказать, что

а• (b+c)=а•b+а•с. (11.21)

Есть еще очень простой геометрический способ вычисления а•b, при котором не надо определять составляющих а и b; просто а•b есть произведение длин векторов а и b на ко­синус угла между ними. Почему? Предположим, что мы выбрали такую систему координат, в которой вектор а направлен вдоль оси х; в этом случае вектор а имеет единственную ненулевую составляющую а_х, которая равна длине вектора а. Таким обра­зом, уравнение (11.19) сводится в этом случае к a•b=a_xb_x, что равно произведению длины вектора а на составляющую векто­ра b по направлению а, которая в свою очередь равна bcos, т. е.