Читать «K читателям русского издания» онлайн - страница 132

а•b=abcos.

Таким образом, в этой частной системе координат мы дока­зали, что a•b равно произведению длин векторов а и b на коси­нус угла между ними 9. Но если это верно в одной системе коор­динат, то это верно и во всех системах, потому что а•b не зависит от выбора системы координат.

Что хорошего может дать нам эта новая величина? Нужно ли физику скалярное произведение? Да, оно необходимо ему постоянно. Например, в гл. 4 мы назвали кинетической энер­гией величину ¹/₂mv², но если частица движется в простран­стве, то нужно возвести в квадрат отдельно составляющие ско­рости х, у и z, так что формулу для кинетической энергии можно записать в виде

к.э.=¹/₂m(v•v)=¹/₂m(v²_x+ v²_y+v²_z). (11.22)

Энергия не имеет направления. Импульс же направление имеет, это – вектор, и он равен произведению массы на вектор ско­рости.

Другим примером скалярного произведения может служить работа, произведенная силой при перемещении какого-нибудь предмета с одного места на другое. Мы еще не дали определения работы, она равна изменению энергии, прибавке в весе, после того как сила F поработает вдоль пути s:

Работа=F•s. (11.23)

Иногда целесообразно говорить о составляющей вдоль опре­деленного направления (например, вдоль вертикали, потому что это направление силы тяжести). Для этого удобно ввести еди­ничный вектор вдоль интересующего нас направления. Под еди­ничным вектором мы будем понимать вектор, скалярное про­изведение которого на себя равно единице. Пусть это будет вектор i; тогда i•i=l. Скалярное произведение i•a равно acos, т. е. оно равно составляющей вектора а вдоль направле­ния i. Это наилучший способ получить составляющую вектора. Поступая так, мы можем найти все составляющие вектора и получить забавную формулу.

Предположим, что нам задана какая-то система координат х, у и z. Введем три вектора: i – единичный вектор вдоль оси х,

j – единичный вектор вдоль оси y и к – единичный вектор вдоль оси z. Ясно, что i•i=l. Чему же равно произведение i•j? Если угол между векторами прямой, то их скалярное произве­дение равно нулю. Таким образом,

i•i=1,

i•j = 0, j•j=1, (11.24) i•k=0, j•k=0, k•k=l.

Используя эти свойства векторов i, j, k, можно записать любой вектор а в виде

a=a_x•i + a_y•j+ a_z•k. (11.25)

Таким образом, можно от составляющих вектора легко перейти к самому вектору.

Мы изучили далеко не все свойства векторов. Однако, прежде чем углубиться в этот вопрос, научимся сперва применять обсужденные сейчас идеи в физике. И тогда, когда мы хорошо овладеем основным материалом, будет легче продвинуться даль­ше, не впадая в ошибки. Позднее мы увидим, что удобно опре­делить еще одно произведение двух векторов, которое назы­вается векторным произведением и записывается в виде аXb. Однако обсуждение этого вопроса лучше отложить до следующей главы.