Читать «K читателям русского издания» онлайн - страница 129

Предположим, что мы умножили вектор а на число а. Что нужно понимать под таким произведением? Договоримся по­нимать под этим вектор с компонентами аа_х, аа_у, aa_z. Дока­жите сами, что это действительно вектор.

Рассмотрим теперь вычитание векторов. Можно определить вычитание тем же способом, что и сложение, но вместо того, чтобы складывать, будем вычитать составляющие. Можно также определить вычитание как сложение с отрицательным вектором -b=(-1)b. Результат будет тот же.

Вычитание векторов показано на фиг. 11.5.

Фиг. 11,5. Вычитание векторов.

На этом черте­же изображено

d=а-b=а+(-b); заметим также, что, зная векторы а и b, разность а-b можно легко найти из эквивалентного соотношения а=b+d. Таким образом найти раз­ность векторов даже легче, чем сумму: просто нужно провести вектор, соединяющий b и а, и вы получите а-b!

Перейдем теперь к скорости. Почему скорость есть вектор? Если координаты точки равны х, у, z, то скорость ее равна dx/dt, dy/dt, dz/dt. Вектор это или не вектор? Дифференцируя выражение (11.5), можно найти закон преобразования dx'ldt. Видно, что величины dx/dt, dy/dt преобразуются по тому же закону, что и х и у. Таким образом, скорость есть вектор. Вы­ражение для скорости можно записать очень интересно:

v=dr/dt.

Постараемся нагляднее представить себе, что такое ско­рость и почему она вектор. Далеко ли продвинется частица за малое время t? Ответ: на r, т. е. если частица находится «здесь» в первое мгновение, а «там» – во второе, то векторная разность положений частицы равна вектору r=r₂-r₁. расположенному вдоль направления движения. Как это выглядит, показано на фиг. 11.6. Если разделить этот вектор на промежуток времени t = t₂-t₁, то мы получим вектор «средней скорости».

Иначе говоря, под вектором скорости мы понимаем предел разности радиус-векторов, соответствующих моментам t+t и t, деленной на t при t, стремящемся к нулю:

Скорость есть вектор постольку, поскольку она равна разности двух векторов. Это верно также и потому, что составляющие этого вектора равны dx/dt, dy/dt, dz/dt. Подумав над тем, что сейчас было проделано, мы придем к выводу, что, продиффе­ренцировав любой вектор по времени, мы снова получим какой-то новый вектор. Таким образом, имеется несколько способов получать новые векторы: 1) умножая вектор на постоянное число; 2) дифференцируя вектор по времени; 3) складывая два вектора или вычитая.

§ 6. Законы Ньютона в векторной записи