Читать «K читателям русского издания» онлайн - страница 128

Давайте теперь рассмотрим некоторые свойства векторов. В качестве примера «вектора» можно указать скорость, импульс, силу и ускорение. Часто бывает удобно изобразить вектор в виде стрелки, указывающей направление действия. Но почему же можно представить силу стрелкой? Да потому, что она пре­образуется по тем же законам, что и «шаг в пространстве». Именно поэтому можно представить силу в виде чертежа, как если бы это изображалось перемещение, причем выберем та­кой масштаб, чтобы единица силы, например ньютон, соответ­ствовала некоторой длине. Проделав такую процедуру однажды, мы всегда сможем изображать силы в виде отрезков, потому что уравнение типа

F=kr

(где k – некоторая постоянная) имеет вполне определенный смысл. Возможность представлять силу отрезком сулит нам большие выгоды, потому что, изобразив отрезок или стрелку, можно не заботиться о координатных осях. При этом, конечно, всегда можно быстро подсчитать, как изменяются составляющие вектора при поворотах осей, потому что дело сводится к про­стому геометрическому построению.

§ 5. Векторная алгебра

Теперь мы должны описать законы, или правила, 'регули­рующие возможные сочетания различных векторов. Прежде всего мы изучим сумму двух векторов. Пусть векторы а и b задаются в какой-нибудь системе координат составляющими а_х, a_y , a_z и b_x, b_y ,b_z. Предположим, что кому-то пришло в голову составить три числа а_х+b_x, a_y+b_y , а_г+b_z. Получим ли мы в результате вектор? Вы можете сказать: «Разумеется, ведь это три числа, а три числа образуют вектор». Нет, вектор обра­зуют не любые три числа! Чтобы задать вектор, мы должны связать заданные нам три числа с координатной системой так, чтобы при повороте координатных осей эти числа «поворачива­лись» относительно друг друга и «перемешивались» по описан­ным ранее правилам. Таким образом, мы должны выяснить, во что превращаются числа а_х+b_х, а_y+b_y, a_z+b_г, если известно, что при изменении системы координат числа а_х, а_у, a_z переходят в а'_х, а'_у, a'_z, а b_х, b_у, b_г переходят в b'_x, b'_y, b'_г? Получим ли мы после поворота координатных осей числа а'_х +b'_x, a'_y+b'_y, a'_z+b'_z? Ответ, конечно, будет утвердительным, потому что наше основное уравнение (11_:5) определяет так называемое линейное преобразование. Если мы применим это преобразование к а_х и b_х и вычислим а_х+b_x то окажется, что преобразованное а_х+b_х есть то же самое, что и а_х+b_х. «Складывая» векторы а и b по только что описанному правилу, мы получаем новый вектор c. Мы запишем это так:

с=а +b.

Вектор с обладает интересным свойством:

с=b+а;

это легко проверить, написав составляющие вектора с. Кроме того,

а+(b+с)=(а+b) + с.

Векторы можно складывать в любом порядке.

Каков геометрический смысл а+b? Как будет выглядеть вектор с, если мы, скажем, изобразим а и b с помощью стре­лок? Ответ на этот вопрос дает фиг. 11.4.

Фиг. 11.4. Сложение векторов.

Мы видим, что приба­вить составляющие вектора b к составляющим вектора а проще всего, приложив соответствующим образом прямоугольник, определяемый составляющими b, к такому же прямоугольнику, определяемому составляющими а. Поскольку а и b хорошо подогнаны к своим прямоугольникам, то это все равно, что поставить вектор b «ногами» на «голову» вектору а. Стрелка, сое­диняющая «ноги» вектора а и «голову» вектора b, и будет век­тором с. Можно поступить иначе: поставить «ноги» а на «голову» b. Вспомнив геометрические свойства параллелограмма, можно убедиться в том, что мы снова получим тот же вектор с. Заметим, что, ставя векторы друг на друга, мы складываем их без помощи координатных осей.