Читать «K читателям русского издания» онлайн - страница 126

F_x.=F_xcos+F_ysm,

F_y.=F_ycos-F_xsm, (11.6)

F_z' = F_z

Интересно отметить случайность, которая в дальнейшем ока­жется очень важной: формулы (11.5) и (11.6) для координат Р и составляющих F соответственно тождественны по форме. Как и раньше, предположим, что законы Ньютона справед­ливы в системе координат Джо и выражаются уравнениями (11.1). Снова возникает вопрос: может ли Мик пользоваться законами Ньютона, будут ли их предписания выполняться в повернутой системе координат? Другими словами, если пред­положить, что уравнения (11.5) и (11.6) дают связь между из­меряемыми величинами, то верно ли, что

Чтобы проверить эти уравнения, вычислим левые и правые части независимо, а затем сравним результаты. Чтобы вычис­лить левые части, умножим уравнения (11.5) на m и продиффе­ренцируем их дважды по времени, считая угол 9 постоянным. Это дает

Вычислим правые части уравнений (11.7), подставив (11.1] в уравнения (11.6). Получаем

Глядите! Правые части уравнений (11.8) и (11.9) тождест­венны; значит, если законы Ньютона верны в одной системе координат, то ими можно пользоваться и в другой системе. Эти рассуждения заставляют нас сделать некоторые важные выводы: во-первых, никто не может утверждать, что избранная им система координат единственна, она может быть, конечно, более удобной при решении частных задач. Например, удобно, но не обязательно взять направление силы тяжести за одну из осей координат. Во-вторых, это означает, что любой механизм, если только он является самостоятельным устройством и об­ладает всем необходимым для создания силы, будет работать одинаково, как бы его ни повернули.

§ 4. Векторы

Насколько нам известно сейчас, не только законы Ньютона, но и все физические законы обладают двумя свойствами, кото­рые называют инвариантностью (или симметрией) относительно перемещений и поворотов координатных осей. Эти свойства столь важны, что для учета их при изучении физических зако­нов была разработана специальная математическая техника.

Решение поставленных в предыдущих параграфах задач по­требовало довольно длинных расчетов. Чтобы свести их к ми­нимуму, изобретен могучий математический аппарат. Эта си­стема, называемая векторным анализом, определила название главы, хотя в ней, собственно говоря, речь идет о симметрии физических законов. Конечно, можно получить искомый ре­зультат, поступая так, как было описано раньше, но, чтобы облегчить и ускорить нашу задачу, мы применяем технику век­торного анализа.

Заметим, что в физике важно знать величины двух типов (на самом деле их больше двух, но давайте начнем с двух). Величины первого типа, например число картофелин в мешке, мы будем называть обыкновенными числами, или скалярами. Еще одним примером такой величины может служить темпе­ратура. Другие очень важные в физике величины имеют на­правление, это, например, скорость; мы должны задать не только быстроту перемещения тела, но и путь, по которому оно движется. Импульс и сила тоже имеют направление, как и смеще­ние: когда кто-нибудь делает шаг, можно сказать не только, как далеко он шагнул, но и куда он шагает, т. е. определить направление его движения.