Читать «K читателям русского издания» онлайн - страница 125

Обсудим теперь влияние ориентации системы координат на физические законы. Давайте посмотрим, не будут ли нам снова полезны Мик и Джо. Чтобы избежать ненужных сложностей, предположим, что эти молодые люди находятся в одной точке пространства (мы уже показали, что их системы координат можно перемещать). Пусть оси системы координат Мика по­вернуты относительно системы координат Джо на угол , Обе системы координат изображены на фиг. 11.2, где мы ограничи­лись двумя измерениями.

Фиг. 11.2. Две координатные системы, ориентированные по-раз­ному.

Произвольная точка Р снабжается координатами (х, у) в системе Джо и (х', у') в системе Мика. Как и в предыдущем случае, начнем с того, что выразим коор­динаты х' и у' через х, у и . Для этого опустим из Р перпенди­куляры на все четыре координатные оси и проведем АВ пер­пендикулярно PQ. Из чертежа ясно, что х' можно представить как сумму двух отрезков вдоль оси х', а у'– как разность двух отрезков вдоль АВ. Длины этих отрезков выражаются через х, у и 6; мы добавляем еще уравнение для третьей координаты:

х'=хcos+-уsin,

y'=ycos -xsin, (11.5)

z'=z.

Теперь (мы поступали так и раньше) установим соотношения между силами, измеряемыми двумя наблюдателями. Предполо­жим, что сила F, имеющая (с точки зрения Джо) составляющие F_x и F_y , действует на расположенную в точке Р на фиг. 11.2 частицу массы m. Для простоты сдвинем обе системы коорди­нат так, что начала их переместятся в точку Р, как показано на фиг. 11.3. Мик скажет нам, что сила, по его мнению, имеет составляющие F_x' и F_y' вдоль его осей.

Фиг. 11.3, Составляющие сил в двух системах.

Составляющая F_x, как и F_y, имеет составляющие вдоль обеих осей х' и у'. Чтобы выра­зить F_x' через F_x и F_y , сложим составляющие этих сил вдоль оси х'; точно таким же образом можно выразить и F_y' через F_х и F_y . В результате получим