Читать «Электричество и магнетизм» онлайн - страница 17
Ричард Фейнман
§ 3. Производные полей — градиент
Когда поля меняются со временем, то их изменение можно описать, задав их производные по
Осмысленные физические законы не зависят от ориентации системы координат. Поэтому их нужно писать так, чтобы по обе стороны знака равенства стояли скаляры или векторы. Что же такое производная скалярного поля, скажем,
Может быть, эти три производные и представляют собой компоненты вектора:
(2.11)
Ясно, конечно, что, вообще говоря, не из
В этом можно убедиться по-разному. Можно, например, задать себе вопрос, ответ на который не должен зависеть от системы координат, и попытаться выразить ответ в «инвариантной» форме. К примеру, если S=A·B и если А и В — векторы, то мы знаем (это доказано в вып. 1, гл. 11), что
(2.12)
(где S в любой системе координат одно и то же), то три числа b1, B2, В3 обязаны быть компонентами Вх, Ву, Вz некоторого вектора В.
Рассмотрим теперь температурное поле. Возьмем две точки P1 и Р2, разделенные маленьким расстоянием DR. Температура в Р1 есть T1, а в Р2 она равна T2 , и их разница DТ=Т2-Т1 .Температура в этих реальных физических точках, конечно, не зависит от того, какие оси мы выбрали для измерения координат. В частности, DT — тоже число, не зависящее от системы координат. Это скаляр.
Т1 = Т(х, у, z) и Т2=Т(х + Dх, у + Dу, z + Dz),
где Dx:, Dy, Dz — компоненты вектора DR (фиг. 2.5). Вспомнив (2.7), напишем
(2.13)
Слева в (2.13) стоит скаляр, а справа — сумма трех произведений каких-то чисел на Dx;, Dy, Dz, которые являются компонентами вектора. Значит,
три числа — тоже
Мы напишем этот новый вектор при помощи символа С