Читать «Электричество и магнетизм» онлайн - страница 16

Один способ представить себе скалярное поле — это вообразить «контуры»,

т. е. мысленные поверхности, проведенные через точки с одинаковыми значениями поля, подобно горизонталям на картах, соединяющим точки на одной высоте над уровнем моря. Для температурного поля контуры носят название «изотермические поверхности», или изотермы. На фиг. 2.1 показано температурное поле и зависимость Т от х и у при z=0. Проведено несколько изотерм.

Поля бывают также векторными. Идея их очень проста. В каждой точке пространства задается вектор. Он меняется от точки к точке. Рассмотрим в виде примера вращающееся тело. Скорость материала тела во всякой точке — это вектор, который является функцией ее положения (фиг. 2.2). Другой пример — поток тепла в бруске из некоторого материала. Если в одной части бруска температура выше, а в другой — ниже, то от горячей части к холодной будет идти поток тепла. Тепло в разных частях бруска будет растекаться в различных направлениях. Поток тепла — это величина, имеющая направление;

Фиг. 2.2. Скорости атомов во вращающемся теле — пример векторного поля.

обозначим ее h; длина этого вектора пусть измеряет количество протекающего тепла. Векторы потока тепла также изображены на фиг. 2.1.

Определим теперь h более точно. Длина вектора потока тепла в данной точке — это количество тепловой энергии, проходящее за единицу времени и в пересчете на единицу площади сквозь бесконечно малый элемент поверхности, перпендикулярный к направлению потока. Вектор указывает направление потока (фиг. 2.3). В буквенных обозначениях: если DJ — тепловая энергия, протекающая за единицу времени сквозь элемент поверхности Dа, то

(2.9)

где е_f — единичный вектор направления потока Вектор h можно определить и иначе — через его компоненты. Зададим себе вопрос, сколько тепла протекает через малую поверхность под произвольным углом к направлению потока. На фиг. 2.4 мы изобразили малую поверхность Аa₂ под некоторым углом к поверхности Da_t, которая перпендикулярна к потоку. Единичный вектор n перпендикулярен к поверхности

Фиг.2.3.Тепловой поток— векторное поле. Вектор h указывает направление потока. Абсолютная величина его выражает энергию, переносимую за единицу времени через элемент поверхности, ориентированный поперек потока, деленную на площадь элемента поверхности.

Фиг. 2.4. Тепловые потоки сквозь Aа₂ и сквозь Aa₁ одинаковы.

Aа₂. Угол q между n и h равен углу между поверхностями (так как h — нормаль к Da₁). Чему теперь равен поток тепла через Dа₂ на единицу площади? Потоки сквозь Dа₂ и Dа₁ равны между собой, отличаются только площади. Действительно, Dа₁ = Dа₂cosq. Поток тепла через Dа₂ равен

(2.10)

Поясним это уравнение: поток тепла (в единицу времени и на единицу площади) через произвольный элемент поверхности с единичной нормалью n равен h·n. Можно еще сказать так: компонента потока тепла, перпендикулярная к элементу поверхности Dа₂, равна h·n. Можно, если мы хотим, считать эти утверждения определением h. Сходные идеи мы применим и к другим векторным полям.