Читать «6. Электродинамика» онлайн - страница 90

(21.24)

Вы видите, что эта формула с виду очень похожа на первое слагаемое в (21.23), если только вспомнить, что р — это ток. Но разница все же есть. В (21.23) ток надо подсчитывать в момент (t-r/с), а в (21.24) этого нет. На самом деле, однако, (21.24) для малых r все еще годится, потому что второе слагаемое в (21.23) стремится уничтожить эффект запаздывания из первого слагаемого. Вместе оба они приводят при малых r к результату, очень близкому к (2124).

Фиг. 21.4. Поля излучения В и Е колеблющегося диполя.

В этом можно убедиться следующим образом. Когда rмало, (t-r/с) не очень отличается от t, и в (21.23) скобки можно разложить в ряд Тэйлора. Первый член разложения дает

n в том же порядке по r/с

Если их сложить, члены с р уничтожатся и слева останется незапаздывающий ток р, т. е. р(t) плюс члены порядка (r/с)² и выше [например, ¹/₂(r/с)²Р"']. Эти члены при достаточно малых r (малых настолько, что за время r/с ток р заметно не меняется) будут очень малы.

Стало быть, (21.23) приводит к полям, очень похожим на те, которые дает теория с мгновенным действием, гораздо более похожим на них, чем на поля теории с мгновенным действием и с задержкой; эффекты задержки первого порядка компенсируются вторым членом. Статические формулы очень точны, намного более точны, чем вам могло бы показаться. Конечно, компенсация чувствуется только вблизи от заряда. Для далеких точек эти поправки уже ничего не спасают, потому что временное запаздывание приводит к очень большим эффектам и в конечном счете к важному члену 1/r — к эффекту излучения.

Перед нами все еще стоит задача расчета электрического поля и доказательства того, что оно совпадает с (21.1'). Правда, уже чувствуется, что на больших расстояниях ответ получится такой, как надо. Мы знаем, что вдали от источников, где возникает распространяющаяся волна, Е перпендикулярно к В (и к r), как на фиг. 21.4, и что с В=Е. Значит, Е пропорционально ускорению р", как и предсказывалось формулой (21.1').

Чтобы получить электрическое поле на всех возможных расстояниях, нужно найти электростатический потенциал. Когда мы подсчитывали интеграл токов для А, желая получить (21.18), то сделали приближение: мы пренебрегли малозаметным изменением r в члене с запаздыванием. Для электростатического потенциала этого делать нельзя, потому что тогда у нас получилось бы {/r, умноженное на интеграл от плотности заряда, т. е. на константу. Такое приближение чересчур грубо. Надо обратиться к высшим порядкам. И вместо того, чтобы путаться в этих прямых расчетах высших приближений, можно поступить иначе — определить скалярный потенциал из равенства (21.6), используя уже найденное значение векторного потенциала. Дивергенция А в этом случае просто равна dAJdz, поскольку А_хи A_yтождественно равны нулю. Дифференцируя точно так же, как это делалось выше при вычислении В, получаем

Или в векторных обозначениях

Из равенства (21.6) получается уравнение для j: