Читать «Большая Советская Энциклопедия (РИ)» онлайн - страница 162

L [u] = 0     (1)

(L — некоторый дифференциальный оператор, например по двум переменным), удовлетворяющее на границе S области D однородным краевым условиям:

u = 0.     (2)

  Если функция u является решением уравнения (1) в области D, то функция L [u] тождественно равна нулю в этой области и, следовательно, ортогональна (см. Ортогональность) любой функции в области D. Приближённое решение уравнения (1) ищут в виде

,     (3)

где y_i (x, y) (i = 1, 2,..., n) — линейно независимые функции, удовлетворяющие краевым условиям (2) и являющиеся первыми n функциями некоторой системы функций y₁(x, у), y₂(х, у),..., y_п (х, у),..., полной в данной области. Постоянные коэффициенты a_i выбирают так, чтобы функция L [u_n] была ортогональна в D первым n функциям системы y_i (x, y):

     (4)

.

  Например, пусть в области D требуется решить уравнение Пуассона

при условии u = 0 на S. Выбирая систему функций y_i (x, y), ищем решение в виде (3). Система уравнений (4) для определения коэффициентов ai имеет вид:

.

  Функции y_i (x, y) можно, в частности, выбирать, пользуясь следующими соображениями. Пусть w(x, y) — непрерывная функция, имеющая внутри области D непрерывные частные производные второго порядка и такая, что w(x, y) > 0 внутри D, w(x, y) = 0 на S. Тогда в качестве системы функций y_i (x, y) можно взять систему, составленную из произведений w(x, y) на различные степени х и y: , , , , … Например, если границей области D является окружность S радиуса R с центром в начале координат, то можно положить w(x, y) = R² — x² — y².

  Метод Галёркина применяется при решении широкого класса задач; более общая его формулировка даётся в терминах функционального анализа для решения уравнений вида Au — f = 0, где А — линейный оператор, определённый на линеале, плотном в некотором гильбертовом пространстве H, u — искомый и f — заданный элементы пространства H.

  Метод получил распространение после исследований Б. Г. Галёркина (1915); ранее (1913) он применялся для решения конкретных задач теории упругости И. Г. Бубновым, в связи с чем иногда именуется методом Бубнова — Галёркина. Теоретическое обоснование метода принадлежит М. В. Келдышу (1942).

  Лит.: Галёркин Б. Г., Стержни и пластинки. Ряды в некоторых вопросах упругого равновесия стержней и пластинок, «Вестник инженеров», 1915, т. 1, № 19, с. 897—908; Михлин С. Г., Вариационные методы в математической физике, 2 изд., М. — Л., 1970; Канторович Л. В. и Крылов В. И., Приближённые методы высшего анализа, 5 изд., Л. — М., 1962; Ritz W., Neue Methode zur Lösung gewisser Randwertaufgaben, «Gesellschaft der Wissenschaften zu Göttingen. Math.-physik. Klasse. Nachrichten», Göttingen, 1908; его же, Über еще neue Methode zur Lösung gewisser Variationsprobleme der mathematischen Physik, «Journal für die reine und angewandte Mathematik», 1909, Bd 135.

  В. Г. Карманов.

Риу-Бранку

Ри'у-Бра'нку (Rio Branco), река в Бразилии, левый приток Риу-Негру (бассейн Амазонки). Образуется слиянием рр. Урарикая и Такуту. Длина её с р. Урарикая, берущей начало на восточных склонах хребта Серра-Парима под названием Парима, 1300 км, площадь бассейна около 195 тыс. км². Река течёт по Гвианскому плоскогорью и Амазонской низменности. Летние (июнь, июль) паводки. Средний расход воды около 5400 м³/сек. Судоходна до селения Каракараи, в высокую воду — до г. Боа-Виста.