Читать «Большая Советская Энциклопедия (РИ)» онлайн - страница 161

Ритца и Галёркина методы

Ри'тца и Галёркина ме'тоды, широко распространённые прямые методы решения главным образом вариационных задач и краевых задач математического анализа (см. Краевые задачи, Вариационное исчисление).

  Метод Ритца применяется большей частью для приближённого решения вариационных задач и тех краевых задач, которые сводятся к вариационным. Пусть задан функционал V [y (x)] (или более сложный функционал) и требуется найти такую функцию у (х), принимающую в точках x₀ и x_i заданные значения a = у (х₀) и b = у (х₁), на которой функционал V [y (x)] будет достигать экстремума. Значения исследуемого на экстремум функционала V [y (x)] рассматриваются не на всех допустимых в данной задаче функциях у (х), а лишь на всевозможных линейных комбинациях вида

с постоянными коэффициентами a_i, составленных из n первых функций некоторой выбранной системы j₁(x), j₂(х),..., j_п (х),... (от удачного выбора этой системы функций зависит эффективность применения метода к решению конкретных задач). Необходимым условием выбора системы функций j₁(х) является требование, чтобы функции у_п (х) удовлетворяли условиям уп (х_о) = a и y_n (x₁) = a для всех значений параметров a_1. При таком выборе функций у_п (х) функционал V [y (x)] превращается в функцию Ф (а₁, a₂,..., a_n) коэффициентов a_i, последние выбирают так, чтобы эта функция достигала экстремума, т. е. определяют их из системы уравнений

 .

  Например, пусть требуется решить задачу о минимуме интеграла

при условии y (0) = y (1) = 0. В качестве функций j_i (x) можно взять xⁱ (1 — х), тогда

.

  Если n = 2, то . Для определения коэффициентов a₁ и a₂ получаем после вычислений два уравнения

;

.

  Решением этих уравнений являются числа a₁ = 71/369 и a₂ = ⁷/₄₁. Следовательно, . Полученное приближённое решение отличается от точного на величину порядка 0,001.

  Метод был предложен в 1908 немецким математиком В. Ритцем (W. Ritz). Теоретическое обоснование метода дано сов. математиком Н. М. Крыловым (1918).

  Метод Галёркина является широким обобщением метода Ритца и применяется главным образом для приближённого решения вариационных и краевых задач, в том числе и тех, которые не сводятся к вариационным. Основная идея метода Галёркина состоит в следующем. Пусть требуется в некоторой области D найти решение дифференциального уравнения

L [u] = 0     (1)

(L — некоторый дифференциальный оператор, например по двум переменным), удовлетворяющее на границе S области D однородным краевым условиям: