Читать «5b. Электричество и магнетизм» онлайн - страница 4

Этот заряд можно подсчитать следующим образом. Если площадь пластинки равна А, то число электронов, которое окажется на поверхности, есть произведение А и N (числа электронов на единицу объема), а также смещения S, которое, как мы предполагаем, направлено перпендикулярно к поверхности. Полный заряд получится умножением на заряд электрона q_{e. Чтобы найти поверхностную плотность поляризационных зарядов, индуцируемую на поверхности, разделим на А. Величина поверхностной плотности зарядов равна}

Но она равна как раз длине Р вектора поляризации Р [формула (10.4)]:

Фиг. 10.5. Диэлектрик в однородном поле. Положительные заряды сместились на расстояние d относительно отрицательных.

(10.5)

Поверхностная плотность зарядов равна поляризации внутри материала. Поверхностный заряд, конечно, на одной поверхности положителен, а на другой отрицателен.

Предположим теперь, что наша пластинка служит диэлектриком в плоском конденсаторе. Пластины конденсатора также имеют поверхностный заряд (который мы обозначим s_своб, потому что заряды в проводнике могут двигаться «свободно» куда угодно). Конечно, это тот самый заряд, который мы сообщили конденсатору при его зарядке. Следует подчеркнуть, что s_пол существует только благодаря s_своб. Если, разрядив конденсатор, удалить s_своб, то s_пол также исчезнет, но он не стечет по проволоке, которой разряжают конденсатор, а уйдет назад внутрь материала, за счет релаксации поляризации в диэлектрике.

Теперь мы можем применить теорему Гаусса к поверхности S, изображенной на фиг. 10.1. Электрическое поле Е в диэлектрике равно полной поверхностной плотности зарядов, деленной на e₀. Очевидно, что s_пол и s_своб имеют разные знаки, так что

(10.6)

Заметьте, что поле Е₀между металлической пластиной и поверхностью диэлектрика больше поля Е; оно соответствует только s_своб. Но нас здесь интересует поле внутри диэлектрика, которое занимает почти весь объем, если диэлектрик заполняет почти весь промежуток между пластинами. Используя формулу (10.5), можно написать

(10.7)

Из этого уравнения мы не можем определить электрическое поле, пока не узнаем, чему равно Р. Здесь мы, однако, предполагаем, что Р зависит от Е и, более того, пропорционально Е. Эта пропорциональность обычно записывается в виде

(10.8)

Постоянная c (греческое «хи») называется диэлектрической восприимчивостью диэлектрика.

Тогда выражение (10.7) приобретает вид

(10.9)

откуда мы получаем множитель 1/(1+c), показывающий, во сколько раз уменьшилось поле.

Фиг.10.6. Количество ааряда, прошедшее через элемент воображаемой поверхности в диэлектрике, пропорционально компоненте Р, нормальной к поверхности.