Читать «Серебряная подкова» онлайн - страница 258

Чтобы не нарушить интуиции, выработанной евклидовой геометрией, можем изобразить указанный чертеж в несколько ином виде.] He зная, есть ли перпендикуляр АЕ единственная прямая, которая не встречается с DC, будем считать возможным, что существуют и другие линии, например AG, которые не встречаются с DC, сколько бы мы их ни продолжали. При переходе от пересекающих линии AF к непересекающим AG мы должны встретить линии АН параллельную DC2, - граничную линию, - по одну сторону которой ни одна линия AG не встречает DC, между тем как по другую сторону каждая линия AF пересекает линию DC. Угол HAD между параллелью АН и перпендикуляром AD называется углом параллельности; мы будем здесь обозначать его через П(Р) при AD = p [Это обозначение основано на том, что величина угла параллельности непостоянна: она меняется в зависимости от длины перпендикуляра АД. Когда длина перпендикуляра, уменьшаясь, стремится к нулю, угол параллельности, возрастая, стремится к 90°, а когда перпендикуляр уходит в бесконечность, этот угол становится равным нулю. Следовательно, в геометрии Лобачевского имеет место взаимозависимость угла и отрезка, что представляет самый существенный момент.].

Если П(р) есть прямой угол [То есть в случае геометрии Евклида], то продолжение АЕ' перпендикуляра АЕ также будет параллельно продолжению DB линии DC. Кроме параллели ЕЕ', все другие прямые при достаточном продолжении в обе стороны должны пересекать линию В С.

Если П(р) " 1/2 п [То есть в случае неевклидовой геометрии], то по другую сторону перпендикуляра AD под тем же углом DAK=П(Р) будет проходить еще одна линия А К, параллельная продолжению DB линии DC; таким образом, при этом допущении мы должны отличать еще сторону параллельности [Иными словами, прямая АН считается параллельной прямой ВС в сторону ДС, а прямая АК - параллельной той же прямой в сторону ДВ. Это получает еще более точное выражение, если говорить только о лучах, а не прямых: луч АН параллелен лучу ВС, а луч АК параллелен лучу С В; вместе с тем через точку А, лежащую вне луча ВС, во всяком случае (то есть как в евклидовой, так в неевклидовой геометриях) проходит один и только один параллельный ему луч AH]...

Сообразно этому при предположении П(р)= 1/2П линии могут быть только пересекающими или параллельными; если же принять, что П(Р)" 1/2П , то нужно допустить две параллели, одну по одну сторону перпендикуляра, другую по другую его сторону; кроме того, между остальными линиями нужно различать пересекающие и непересекающие: нк; при одном, так и при другом предположении признаком параллелизма служит то, что линия становится пересекающей при малейшем отклонении в ту сторону, где лежит параллель; таким образом, если АН параллельна DC, то каждая линия AF, сколь бы мал ни был угол HAF, пересекает ДС... Параллельность уже рассматривается во всей обширности [Таким образом, Лобачевский изменил само понимание параллелизма. Параллельными линиями Евклид называет такие, которые находятся в одной плоскости и, при неограниченном продолжении их, не пересекаются. Получается, что непересекающиеся и параллельные - одно и то же. Не так у Лобачевского. Из всех непересекающих данную прямую он выбирает лишь две крайне прямые линии и называет их параллельными. Все остальные прямые не пересекающие данную, он не считает параллельными данной (в настоящее время в математической литературе их обычно называют сверхпараллельными или расходящимися).