Читать «Серебряная подкова» онлайн - страница 257

- Чтобы не утомлять вас, господа, - продолжал тем временем Лобачевский, - множеством таких предложений, коих доказательства не представляют затруднений, я привожу здесь только те из них, знание которых необходимо для последующего...

К несовершенству в теории параллельных надобно было причислять определение самой параллельности. Однако ж несовершенство нисколько не зависело, как подозревал еще Лежандр, от недостатка в определении прямой линии, ни даже от тех недостатков, прибавлю, которые скрывались в первых понятиях. Дело в том, что Евклид, не будучи в состоянии дать удовлетворительное доказательство, допускал в употребительной геометрии тот частный случай, когда две параллельные должны быть вместе перпендикулярами к одной прямой. Однако наука не может быть произвольным следствием одного частного случая! - убежденно заявил докладчик. - Поэтому должна существовать общая геометрическая система с полной теорией параллельных...

Тут Лобачевский сошел с кафедры и, подойдя к черной доске, взял остро заточенный кусок мела.

- Все прямые линии, - говорил он, и линии словно сами ложились на доску под его искусной рукой, - выходящие в некоторой плоскости из одной точки, могут быть по отношению к некоторой заданной прямой той же плоскости разделены на два класса, именно на пересекающие ее и непересекающие. Граничная линия одного и другого класса этих линий называется параллельной заданной линии.

lobach04.gif

Из точки А опустим на прямую В С перпендикуляр AD, к которому, в свою очередь, восставим перпендикуляр АЕ.

В прямом угле EAD линии, выходящие из точки А, либо все встречают прямую DC, как, например, AF, либо же некоторые, подобно перпендикуляру АЕ, не встречают DC.

[Это допущение Лобачевского может показаться невероятным.

"Попробуйте продолжить прямые ДС и АН, они пересекутся тут же на листке бумаги!" - скажет читатель. Да, пересекутся на обычной (привычной нам) евклидовой плоскости. Но, выдвинув свой постулат, Лобачевский тем самым открыл существование пространства с другими свойствами. "Плоскость" в этом новом, неекклидовом пространстве вовсе не плоская. У нее есть кривизна.

Да, кривизна, ибо само пространство Лобачевского обладает кривизной. В частном - предельном случае, когда радиус кривизны становится равным бесконечности, пространство Лобачевского переходит в "плоское" (нулевой кривизны) пространство Евклида.

Следовательно, геометрия последнего есть лишь частный (предельный) случай геометрии Лобачевского.

Только недавно, спустя почти полтора столетия после открытия неевклидовой геометрии, на основе общей теории относительности Эйнштейна, астрономия установила, что реальное пространство Вселенной действительно обладает кривизной и его геометрия отлична от евклидовой. Величина радиуса кривизны космического пространства оказывается переменной, принимающей различные значения в зависимости от структуры полей тяготения тех или иных его участков.

Таким образом, начерченные на листке бумаги (то есть в евклидовой плоскости) параллельные Лобачевского имеют чисто условный вид, и поэтому, конечно, они пересекутся.