Читать «Гидравлика» онлайн - страница 13

Назовем, как и при получении уравнения неразрывности, грани параллелепипеда:

1, 2 – перпендикулярные к оси О_Х и параллельные оси О_Y;

3, 4 – перпендикулярные к оси O_Y и параллельные оси О_Х;

5, 6 – перпендикулярные к оси O_Z и параллельные оси О_Х.

Теперь нужно определить, какая сила приложена к центру масс параллелепипеда.

Сила, приложенная к центру массы параллелепипеда, которая и заставляет эту жидкость совершать движение, есть сумма найденных сил, то есть

Получили уравнение движения параллелепипеда с dV₁ по направлению оси Х.

Делим (1) на массу ρdxdydz:

Полученная система уравнений (2) есть искомое уравнение движения невязкой жидкости – уравнение Эйлера.

К трем уравнениям (2) добавляются еще два уравнения, поскольку неизвестных пять, и решается система из пяти уравнений с пятью неизвестными: одним из двух дополнительных уравнений является уравнение неразрывности. Еще одним уравнением является уравнение состояния. Например, для несжимаемой жидкости уравнением состояния может быть условие ρ = const.

Уравнение состояния должно быть выбрано таким образом, чтобы оно содержало хотя бы одно из пяти неизвестных.

23. Уравнение Эйлера для разных состояний

Уравнение Эйлера для разных состояний имеет разные формы записи. Поскольку само уравнение получено для общего случая, то рассмотрим несколько случаев:

1) движение неустановившееся.

2) жидкость в покое. Следовательно, Ux = Uy = Uz = 0.

В таком случае уравнение Эйлера превращается в уравнение равномерной жидкости. Это уравнение также дифференциальное и является системой из трех уравнений;

3) жидкость невязкая. Для такой жидкости уравнение движения имеет вид

где Fl – проекция плотности распределения сил массы на направление, по которому направлена касательная к линии тока;

dU/dt – ускорение частицы

Подставив U = dl/dt в (2) и учтя, что (∂U/∂l)U = 1/2(∂U²/∂l), получим уравнение.

Мы привели три формы уравнения Эйлера для трех частных случаев. Но это не предел. Главное – правильно определить уравнение состояния, которое содержало хотя бы один неизвестный параметр.

Уравнение Эйлера в сочетании с уравнением неразрывности может быть применено для любого случая.

Уравнение состояния в общем виде:

Таким образом, для решения многих гидродинамических задач оказывается достаточно уравнения Эйлера, уравнения неразрывности и уравнения состояния.

С помощью пяти уравнений легко находятся пять неизвестных: p, Ux, Uy, Uz, ρ.

Невязкую жидкость можно описать и другим уравнением

24. Форма Громеки уравнения движения невязкой жидкости

Уравнения Громеки – попросту другая, несколько преобразованная форма записи уравнения Эйлера.

Например, для координаты x

Чтобы его преобразовать, используют уравнения компонентов угловой скорости для вихревого движения.

Преобразовав точно так же y-вую и z-вую компоненту, окончательно приходим к форме Громеко уравнения Эйлера

Уравнение Эйлера было получено российским ученым Л. Эйлером в 1755 г., и преобразовано в вид (2) опять же российским ученым И. С. Громекой в 1881 г