Читать «Начертательная геометрия: конспект лекций» онлайн - страница 2

1. Проекции точки на две плоскости проекций

Рассмотрим проекции точек на две плоскости, для чего возьмем две перпендикулярные плоскости (рис. 4), которые будем называть горизонтальной фронтальной и плоскостями. Линию пересечения данных плоскостей называют осью проекций. На рассмотренные плоскости спроецируем одну точку А с помощью плоской проекции. Для этого необходимо опустить из данной точки перпендикуляры Аа и A на рассмотренные плоскости.

Проекцию на горизонтальную плоскость называют горизонтальной проекцией точки А, а проекцию а́ на фронтальную плоскость называют фронтальной проекцией.

Точки, которые подлежат проецированию, в начертательной геометрии принято обозначать с помощью больших латинских букв А, В, С. Для обозначения горизонтальных проекций точек применяют малые буквы а, b, с… Фронтальные проекции обозначают малыми буквами со штрихом вверху а́, b́, с́…

Применяется также и обозначение точек римскими цифрами I, II,… а для их проекций – арабскими цифрами 1, 2… и 1́, 2́…

При повороте горизонтальной плоскости на 90° можно получить чертеж, в котором обе плоскости находятся в одной плоскости (рис. 5). Данная картина называется эпюром точки.

Через перпендикулярные прямые Аа и Аа́ проведем плоскость (рис. 4). Полученная плоскость является перпендикулярной фронтальной и горизонтальной плоскостям, потому что содержит перпендикуляры к этим плоскостям. Следовательно, данная плоскость перпендикулярна линии пересечения плоскостей. Полученная прямая пересекает горизонтальную плоскость по прямой аа_х, а фронтальную плоскость – по прямой а́а_х. Прямые аах и а́а_х являются перпендикулярными оси пересечения плоскостей. То есть Аааха́ является прямоугольником.

При совмещении горизонтальной и фронтальной плоскостей проекции а и а́ будут лежать на одном перпендикуляре к оси пересечения плоскостей, так как при вращении горизонтальной плоскости перпендикулярность отрезков аа_х и а́а_х не нарушится.

Получаем, что на эпюре проекции а и а́ некоторой точки А всегда лежат на одном перпендикуляре к оси пересечения плоскостей.

Две проекции а и а́ некоторой точки А могут однозначно определить ее положение в пространстве (рис. 4). Это подтверждается тем, что при построении перпендикуляра из проекции а к горизонтальной плоскости он пройдет через точку А. Точно так же перпендикуляр из проекции а́ к фронтальной плоскости пройдет через точку А, т. е. точка А находится одновременно на двух определенных прямых. Точка А является их точкой пересечения, т. е. является определенной.

Рассмотрим прямоугольник Aaa_ха́ (рис. 5), для которого справедливы следующие утверждения:

1) Расстояние точки А от фронтальной плоскости равно расстоянию ее горизонтальной проекции а от оси пересечения плоскостей, т. е.

Аа́ = аа_х;

2) расстояние точки А от горизонтальной плоскости проекций равно расстоянию ее фронтальной проекции а́ от оси пересечения плоскостей, т. е.

Аа = а́а_х.

Иначе говоря, даже без самой точки на эпюре, используя только две ее проекции, можно узнать, на каком расстоянии от каждой из плоскостей проекций находится данная точка.