Читать «Большая Советская Энциклопедия (ПО)» онлайн - страница 15

,

где k_n — кривизна нормального сечения L в точке М в направлении касательной к Г, а q — угол между главными нормалями к Г и L в этой точке (см. ).

  Поверхности, между точками которых можно установить такое взаимно однозначное соответствие, что длины соответствующих линий равны, называются изометричными. Изометричные поверхности имеют одинаковую внутреннюю геометрию, но их пространственное строение может быть различным и главные кривизны в соответствующих точках у них могут быть также различными (например, окрестность точки на плоскости изометрична некоторой окрестности точки на цилиндре, но имеет иную пространственную структуру). Однако произведение К главных кривизн 1/R₁ и 1/R₂ в точке М не меняется при изометричных преобразованиях поверхности (теорема Гаусса, 1826) и может служить внутренней мерой искривлённости поверхности в данной точке. Величина К называется полной (или гауссовой) кривизной поверхности в точке М и выражается соотношением:

,     (2)

которое называется формулой Гаусса (полная кривизна в соответствии с теоремой Гаусса может быть выражена только через коэффициенты первой квадратичной формы и их производные). Приведённая выше классификация точек регулярной поверхности может быть сопоставлена со значениями полной кривизны: в эллиптической точке кривизна положительна, в гиперболической — отрицательна и в параболической — равна нулю.

  Во многих вопросах П. т. рассматривается другая характеристика искривлённости поверхности — т. н. средняя кривизна, равная полусумме главных кривизн поверхности. Так, например, одним из объектов исследований П. т. являются , средняя кривизна которых в каждой точке равна нулю.

  Важное значение в П. т. имеет вопрос о возможности поверхности: можно ли утверждать, что данная поверхность будет изгибаемой? Математически этот вопрос формулируется следующим образом: возможно ли включить данную регулярную поверхность в однопараметрическое семейство изометричных неконгруэнтных регулярных поверхностей (конгруэнтные поверхности — поверхности, совмещаемые движением). Достаточно малые куски поверхностей положительной и отрицательной кривизны допускают непрерывные изгибания. Существуют поверхности с точкой уплощения (т. е. точкой, где все нормальные кривизны равны нулю), сколь угодно малая окрестность которой не допускает изгибания. Последний результат установлен советским геометром Н. В. Ефимовым. Кроме самой возможности изгибания, рассматриваются и изгибания специальных типов.