Читать «Большая Советская Энциклопедия (ОП)» онлайн - страница 27

  2) Операция (оператор) дифференцирования D [f (t )] = f’ (t ) относит каждой дифференцируемой функции f (t ) её производную f’ (t ).

  3) Операция (оператор) определённого интегрирования I = относит каждой интегрируемой функции действительное число.

  4) Отнеся каждой функции f (t ) её произведение j(t ) f (t ) на фиксированную функцию j(t ), снова получаем оператор.

  Общая О. т. возникла в результате развития теории интегральных уравнений, решения задач на нахождение собственных функций и собственных значений для дифференциальных операторов (см., например, ) и др. разделов классического анализа. О. т. установила тесные связи между этими разделами математики и сыграла важную роль в их дальнейшем развитии. Ещё до возникновения общего понятия оператора операторные методы широко применялись в решении различных типов дифференциальных уравнений, обыкновенных и с частными производными (см. ). О. т. представляет собой основной математический аппарат квантовой механики (см. в квантовой теории).

  Приведённые выше примеры 1—4 представляют собой примеры линейных операторов. Дальнейшие примеры линейных операторов:

  5) Пусть k (s , t ) — непрерывная функция двух переменных, заданная в квадрате a £ s £ b , а £ t £ b . Формула

  определяет линейный интегральный оператор, называется оператором Фредгольма.

  6) Каждой абсолютно интегрируемой на всей прямой функции f (t ) поставим в соответствие функцию

называется исходной функции. Это соответствие также представляет собой линейный оператор.

  7) Левую часть линейного дифференциального уравнения

можно рассматривать как результат применения некоторого оператора, ставящего в соответствие функции x (t ) функцию j(t ). Такой оператор носит название линейного дифференциального оператора. Простейшим частным случаем линейного дифференциального оператора является оператор дифференцирования.

  Примеры нелинейных операторов:

  8) Пусть A [f (t )] = f ² (t ); определённый т. о. оператор является нелинейным.

  9) Пусть

  Действия над операторами . Пусть дан оператор

у = А (х ),

  причём никакие два разных элемента х и х' не переходят в один и тот же элемент у . Тогда каждому образу у отвечает его единств. прообраз х . Это соответствие называется обратным оператором и обозначают

х = А ^–1 (у ).

  Построение обратного оператора эквивалентно решению уравнения у = А (х ) относительно х (отыскание неизвестного прообраза по данному образу).

  Если A ₁ и А ₂ — два оператора, отображающих R в R' , то их суммой А = A ₁ + A ₂ называется оператор, определяемый равенством А (х ) = A ₁ (x ) + A ₂ (x ). Если оператор A ₁ переводит R в R' , а A ₂ переводит R' в R” , то результат их последовательного применения представляет собой оператор, отображающий R в R” ; его называют произведением A ₂ A ₁ операторов A ₁ и A ₂ . Если, в частности, рассматриваются операторы, переводящие некоторое линейное пространство в себя, то сумма и произведение двух таких операторов всегда определены. Результат последовательного применения п раз одного и того же оператора А есть n -я степень Aⁿ этого оператора. Например, n -я степень оператора дифференцирования есть оператор n -kpaтного дифференцирования Dⁿ [f (t)] = f ⁽ⁿ⁾ (t). Произведение lА оператора А на число l определяется формулой