Читать «Большая Советская Энциклопедия (ОП)» онлайн - страница 117

БСЭ БСЭ

  Имея дело с управляемым объектом, всегда стремятся так манипулировать «рулями», чтобы, исходя из определенно начального состояния, в итоге достичь некоторого желаемого состояния. Например, для запуска ИСЗ необходимо рассчитать режим работы двигателей ракеты-носителя, который обеспечит доставку спутника на желаемую орбиту. Как правило, существует бесконечно много способов управлять объектом так, чтобы реализовать цель управления. В связи с этим возникает задача найти такой способ управления, который позволяет достичь желаемого результата наилучшим, оптимальным образом в смысле определённого критерия качества; в конкретных задачах часто требуется реализовать цель управления за наименьшее возможное время или с минимальным расходом горючего, или с максимальным экономическим эффектом и т.п.

  В качестве типичного можно привести управляемый объект, закон движения которого описывается системой обыкновенных дифференциальных уравнений

 = , (1)

i = 1,..., n ,

где x 1 ,..., xn — фазовые координаты, характеризующие состояние объекта в момент времени t , а u 1 ,..., u r — управляющие параметры. Управление объектом означает выбор управляющих параметров как функций времени

, j = 1,..., r ,   (2)

  являющихся допустимыми с точки зрения имеющихся возможностей управления объектом. Например, в прикладных задачах часто требуется, чтобы в каждый момент времени точка (u 1 ,..., u r ) принадлежала заданному замкнутому множеству U . Это последнее обстоятельство делает рассматриваемую вариационную задачу неклассической. Пусть заданы начальное ( x 1 0 ,..., x n 0 ) и конечное (x 1 1 ,..., x n 1 ) состояния объекта (1). Об управлении (2) говорят, что оно реализует цель управления, если найдётся такой момент времени t 1 > t 0 , что решение (x 1 (t ),..., x n (t )) задачи

(3)

x i (t 0 ) = x i 0 ,

i = 1,..., n ,

удовлетворяет условию x i (t 1 ) = x i 1 . Качество этого управления будем оценивать значением функционала

, (4)

где  — заданная функция. Задача О. у. состоит в отыскании такого реализующего цель управления, для которого функционал (4) принимает наименьшее возможное значение. Т. о., математическая теория О. у. — это раздел математики, рассматривающий неклассические вариационные задачи отыскания экстремумов функционалов на решениях уравнений, описывающих управляемые объекты, и управлений, на которых реализуется экстремум.