Читать «Большая Советская Энциклопедия (ОБ)» онлайн - страница 81

  Сходимость на (линейном) множестве О. ф. вводится как слабая сходимость функционалов. Оказывается, что операция дифференцирования О. ф. непрерывна, а сходящаяся последовательность О. ф. допускает почленное дифференцирование бесконечное число раз.

  Вводятся и другие операции над О. ф., например , , . Теория этих операций приобретает наиболее простую и законченную форму в рамках понятия О. ф., расширяющих возможности классического математического анализа. Поэтому использование О. ф. существенно расширяет круг рассматриваемых задач и к тому же приводит к значительным упрощениям, автоматизируя элементарные операции.

Примеры. 1) d-функция Дирака:

(d, j) = j(0),

  описывает плотность массы (заряда) 1, сосредоточенной в точке х = 0, единичный импульс.

2) q (x) — функция Хевисайда: q(x) = 0, х £ 0, q(x) = 1, x > 0, q' = d;

  производная от неё равна единичному импульсу.

  3) —d' — плотность диполя момента 1 в точке х = 0, ориентированного вдоль оси х.

  4) md_s — плотность простого слоя на поверхности S с поверхностной плотностью m:

5)  — плотность двойного слоя на поверхности S с поверхностной плотностью момента n диполей, ориентированных вдоль направления нормали n:

.

  6) Свёртка

  — ньютонов потенциал с плотностью f, где f — любая О. ф. [например, из 1), 3), 4) и 5)].

  7) Общее решение уравнения колебаний струны

  задаётся формулой

u (х, t) = f (x + at) + g (x - at),

  где f и g — любые О. ф.

  Лит.: Дирак П. А. М., Основы квантовой механики, пер. с англ., М.—Л., 1932; Soboleff S., Méthode nouvelle á resoudre le probléme de Cauchy pour les équations lineaires hyperboliques normales, «Математический сборник», 1936, т. 1 (43), № 1 (резюме на рус. яз.); Schwartz L., Théorie des distributions, t. 1—2, P., 1950—51; Гельфанд И. М., Шилов Г. Е., Обобщённые функции и действия над ними, 2 изд., М., 1959; Владимиров В. С., Уравнения математической физики, 2 изд., М., 1971.

  В. С. Владимиров.

Обобществление средств производства

Обобществле'ние средств произво'дства в переходный период от капитализма к социализму, революционное преобразование частнокапиталистической собственности на средства производства в социалистическую общественную собственность и организация на этой основе нового типа общественного производства, планомерно обеспечивающего всё более полное благосостояние и свободное всестороннее развитие всех членов общества. Объективные предпосылки О. с. п. возникают в недрах капиталистического общества вследствие усиления общественного характера крупного машинного производства, что выражается в повышающейся степени концентрации и централизации производства, углублении общественного разделения труда, расширении связей между различными отраслями и видами производства внутри каждой страны, в образовании и развитии мирового хозяйства. Наибольшей степени этот процесс достигает в результате перерастания монополистического капитализма в государственно-монополистический, когда складывается механизм общественного счетоводства, тесно связанный с концентрацией банков и сращиванием их с промышленными монополиями. Противоречие между общественным характером производства и частнокапиталистической формой присвоения продуктов труда разрешается в ходе социалистической революции путём социалистической . Социалистическое государство не только юридически провозглашает О. с. п., но и осуществляет его реально. В. И. Ленин указывал, что главная трудность строительства нового общества в экономической области «...обобществить производство на деле», что предполагает налаживание «...чрезвычайно сложной и тонкой сети новых организационных отношений, охватывающих планомерное производство и распределение продуктов, необходимых для существования десятков миллионов людей» (Ленин В. И., Полное собрание сочинений, 5 издание, т. 36. с. 171). Выполнение этой задачи означает согласованное в масштабе общества хозяйствование трудящихся на основе совместного использования общественных средств производства, общественного учёта и контроля, планомерного регулирования всего народного хозяйства. В период социалистического строительства происходит О. с. п. также мелких производителей путём социалистического преобразования мелкотоварного хозяйства крестьян и ремесленников и создания социалистических производственных кооперативов (см. ).