Читать «Большая Советская Энциклопедия (ИЗ)» онлайн - страница 136

Изоморфизм (матем.)

Изоморфи'зм, одно из основных понятий современной математики, возникшее сначала в пределах алгебры в применении к таким алгебраическим образованиям, как , , и т. п., но оказавшееся весьма существенным для общего понимания строения и области возможных применений каждого раздела математики.

  Понятие И. относится к системам объектов с заданными в них операциями или отношениями. В качестве простого примера двух изоморфных систем можно рассмотреть систему R всех действительных чисел с заданной на ней операцией сложения x = x ₁ + x ₁ и систему Р положительных действительных чисел с заданной на ней операцией умножения y = y ₁ y ₂ . Можно показать, что внутреннее «устройство» этих двух систем чисел совершенно одинаково. Для этого достаточно систему R отобразить в систему Р , поставив в соответствие числу х из R число у = a^x (а > 1) из Р. Тогда сумме x = x ₁ + x ₂ будет соответствовать произведение y = y ₁ y ₂ чисел  соответствующих x ₁ и x ₂ . Обратное отображение Р на R имеет при этом вид x = log_a y. Из любого предложения, относящегося к сложению чисел системы R , можно извлечь соответствующее ему предложение, относящееся к умножению чисел системы Р . Например, если в R сумма

членов арифметической прогрессии выражается формулой

то в Р произведение

членов геометрической прогрессии выражается формулой

(умножению на n в системе R соответствует при переходе к системе Р возведение в n -ю степень, а делению на два — извлечение квадратного корня).

  Изучение свойств одной из изоморфных систем в значительной мере (а с абстрактно-математической точки зрения — полностью) сводится к изучению свойств другой. Любую систему объектов S', изоморфную системе S , можно рассматривать как «модель» системы S («моделировать систему S при помощи системы S' ») и сводить изучение самых разнообразных свойств системы S к изучению свойств «модели» S'.

  Общее определение И. систем объектов с заданными на них в конечном числе отношениями между постоянным для каждого отношения числом объектов таково. Пусть даны две системы объектов S и S', причём в первой определены отношения

а во второй — отношения

Системы S и S' с указанными в них отношениями называются изоморфными, если их можно поставить в такое взаимно однозначное соответствие

(где х — произвольный элемент S , а x' — произвольный элемент S' ), что из наличия F_k (x ₁ ,x ₂ ,... ) вытекает F'_k (х' ₁ ,х' ₂ ,... ), и наоборот. Само указанное соответствие называется при этом изоморфным отображением, или изоморфизмом. [В приведённом выше примере в системе R определено отношение F (x, x ₁ , x ₂ ), где x = x ₁ + x ₂ , в системе Р — отношение F' (y , y ₁ , y ₂ ), где у = у ₁ у ₂ ; взаимно однозначное соответствие устанавливается по формулам у = a^x , х = 1og_a y. ]

  Понятие И. возникло в теории групп, где впервые был понят тот факт, что изучение внутренней структуры двух изоморфных систем объектов представляет собой одну и ту же задачу.