Читать «Большая Советская Энциклопедия (БЕ)» онлайн - страница 541

  — ряд Фурье f (x ) по системе j_k (x ), то справедливо Б. н.

  С. Б. Стечкин.

Бесселя уравнение

Бе'сселя уравнение, линейное дифференциальное уравнение 2-го порядка вида

  x ² y ’’ + xy ’ + (x ² - p ² ) y = 0,

  где параметр («индекс») р может принимать произвольные (комплексные) значения (названо по имени Ф. ). К этому уравнению приводят многочисленные физические задачи. Решения Б. у. называются ; о специальном классе цилиндрических функций см. статью .

  П. И. Лизоркин.

Бесселя функции

Бе'сселя функции, 1-го рода; возникают при рассмотрении физических процессов (теплопроводности, диффузии, колебаний и пр.) в областях с круговой и цилиндрической симметрией; являются решениями .

  Б. ф. J_p порядка (индекса) р, — ¥ < p < ¥, представляется рядом

сходящимся при всех х. Её график при х > 0 имеет вид затухающего колебания; J _p (x ) имеет бесчисленное множество нулей; поведение J _p (x ) при малых |х | даётся первым слагаемым ряда (*), при больших х > 0 справедливо асимптотическое представление

в котором отчётливо проявляется колебательный характер функции. Б. ф. «полуцелого» порядка р = n + ¹ /₂ выражаются через элементарные функции; в частности,

Б. ф. J _p (m^p _n x/l ) (где m^p _n — положительные нули J _p (x ), р > -¹ /₂ ) образуют ортогональную с весом х в промежутке (0, l ) систему (см. ).

  Функция J ₀ была впервые рассмотрена Д. в работе, посвященной колебанию тяжёлых цепей (1732). Л. , рассматривая задачу о колебаниях круглой мембраны (1738), пришёл к уравнению Бесселя с целыми значениями р = n и нашёл выражение J„ (x ) в виде ряда по степеням х. В последующих работах он распространил это выражение на случай произвольных значений р. Ф. Бессель исследовал (1824) функции J_p (x ) в связи с изучением движения планет вокруг Солнца. Он составил первые таблицы для J ₀ (x ), J ₁ (x ), J ₂ (x ).

  Лит.: Ватсон Г. Н., Теория бесселевых функций, пер. с англ., ч. 1—2, М., 1949; Лебедев Н. Н., Специальные функции и их приложения, 2 изд., М.— Л., 1963; Бейтмен Г., Эрдейи А., Высшие трансцендентные функции, функции Бесселя, функции параболического цилиндра, ортогональные многочлены, пер. с англ., М., 1966.

  П. И. Лизоркин.

Бессеменные плоды

Бессеменны'е плоды', партенокарпические плоды, развивающиеся без оплодотворения, не содержащие семян плоды (см. ). Б. и. встречаются у многих растений, в том числе у ряда овощных и плодовых (у некоторых сортов огурцов, крыжовника, винограда, мандаринов, груш, винной ягоды, хурмы, бананов и др.). В одних случаях это явление нормальное (мандарины, бессеменные сорта груш и винограда, бананы), в других оно наблюдается при случайном отсутствии оплодотворения наряду с обычным типом развития плодов (некоторые сорта яблонь), в третьих — в результате внедрения в семяпочку паразитов. Растения, приносящие Б. п., не нуждаются в опылителях, что очень существенно при культуре в закрытом грунте (оранжереях, теплицах), при возделывании чужеземных растений, не имеющих опылителей в составе местной фауны, а также при цветении в неблагоприятную погоду, препятствующую лету опылителей. Б. п. ряда растений превосходят вкусовыми качествами плоды, содержащие семена, и имеют ряд преимуществ при их технологической обработке и употреблении в пищу. Поэтому выведение сортов с Б. п. представляет значительный интерес. Сорта, приносящие только Б. п., могут размножаться лишь вегетативно или же для получения семян нуждаются в искусственном опылении (например, у бессеменных огурцов). Для получения Б. п. используют триплодные формы (у арбузов) или обработку завязей и целых растений ростовыми веществами (при тепличной культуре помидоров).