Читать «Диалоги (май 2003 г.)» онлайн - страница 121

И.К. Мы взяли эту плотность степенного распределения, в простейшем случае она зависит от одного параметра «бета» и обладает следующими свойствами. Во-первых, плотность степенного распределения степенным образом затухает, когда её аргумент стремится к нулю, и тем медленнее, чем меньше параметр «бета». И, кроме того, если «бета» больше, то она достаточно быстро убывает. И, во-вторых, моменты порядка «целая часть параметра „бета“ обращаются в бесконечность для этого степенного распределения. Таким образом, если у нас „бета“ приняло значение между двумя и тремя, то „целая часть параметра бета“ равно двум и степенное распределение не имеет дисперсии. То есть дисперсия обращается в бесконечность. Таким образом, соответствующий случайный процесс должен совершать гигантские выбросы, чтобы набрать такую дисперсию. Действительно, существует такая северная горная река Тура, которая протекает в Эвенкийском Национальном округе, в горах, между реками Енисеем и Леной, и для неё оценка параметра „бета“ равна 2,63. То есть там имеют место гигантские выбросы.

Вообще говоря, применение степенного распределения в корне меняет въевшееся в плоть и кровь представление о надёжности и риске. Вот мы рассмотрели максимальные уровни для реки Невы. И для того, чтобы исследовать повторяемость наводнений, мы рассмотрели наше степенное распределение и принятое в гидрологии гамма-распределение. Вот крупнейшее наводнение на реке Неве произошло в Петербурге. Его описал Пушкин в поэме «Медный всадник». Он писал, что «вода и больше ничего» – настолько залило Петербург. Уровень воды реки Невы 19 ноября 1824-го года достиг 421 сантиметра. Если использовать гамма-распределение, то такое наводнение повторяется один раз в 22 тысячи лет. То есть оно является чрезвычайно редким и совершенно невероятным.

А если использовать степенное распределение и рассчитать повторяемость, то оно происходит один раз в 667 лет и является, в общем, вполне реальным.

Следующее крупное наводнение произошло 23 сентября 1924-го года. Уровень в реке Неве был 380 сантиметров. С точки зрения гамма-распределения такое наводнение повторяется раз в 2700 лет. А с точки зрения степенного распределения, оно повторяется один раз в 2,5 века и является вполне реальным событием. Получив это, мы сравнили нашу модель с гидродинамическими моделями, которые были разработаны в Петербурге. И вот в таблице видно, что наша модель и гидродинамические модели очень хорошо соответствуют друг другу. А плотности степенного распределения и гамма-распределения хорошо совпадают в средней части и очень сильно различаются в области катастрофических наводнений. Именно этим и объясняется разница в такой повторяемости.