Читать «Невероятно – не факт» онлайн - страница 6

Другая трудность, скорее логического порядка, появляется тогда, когда нет однозначности в выделении группы явлений, к которой относится интересующее нас событие.

Скажем, некто Пьер отправился на мотоцикле на работу на улицу Гренель и по дороге наскочил на грузовик. Можно ли ответить, какова вероятность этого грустного происшествия? Без сомнения, можно, но необходимо оговорить исходную ситуацию. А выбор ее, конечно, неоднозначен. Ведь можно привлечь к статистике лишь выезды на работу молодых парижан; а можно исследовать группу выездов всех парижан в любое время; можно расширить статистику на другие города, а не ограничиться Парижем. Во всех этих вариантах вероятности будут разными.

Итак, вывод один: когда начинаешь оперировать числами, необходима точность в постановке задачи; исследователь всегда должен формализовать явление – с этим уж ничего не поделаешь.

Вернемся теперь к игре в кости. Одной костью никто не играет: слишком просто и загодя известно, что вероятность выпадения любой грани – 1/6, и никаких математических задач в такой игре не возникает.

При бросании трех или даже двух костей сразу появляются проблемы, и можно уже задать, скажем, такой вопрос: какова вероятность появления двух шестерок? Каждая из них появляется независимо с вероятностью, равной 1/6. При выпадении шестерки на одной кости вторая может лечь шестью способами. Значит, вероятность выпадения двух шестерок одновременно будет равна произведению двух вероятностей (1/6·1/6). Это пример так называемой теории умножения вероятностей. Но на этом новые проблемы не кончаются.

В начале XVII века к великому Галилею явился приятель, который захотел получить разъяснение по следующему поводу. Играя в три кости, он заметил, что число 10, как сумма очков на трех костях, появляется чаще, чем число 9. «Как же так, – спрашивал игрок, – ведь как в случае девятки, так и в случае десятки эти числа набираются одинаковым числом способов, а именно шестью?» Приятель был совершенно прав. Посмотрите на рисунок, на котором показано, как можно представить девятку и десятку в виде сумм.

Разбираясь в этом противоречии, Галилей решил одну из первых задач так называемой комбинаторики – основного инструмента расчетов вероятностей.

Итак, в чем же дело? А вот в чем.

Важно не то, как сумма разлагается на слагаемые, а сколько вариантов выпадения костей приводят к суммам в «девять» и «десять» очков. Галилей нашел, что «десять» осуществляется 27 способами, а «девять» – 25. Эмпирическое наблюдение получило теоретическое истолкование. Что же это за разница между числом представлений суммы через слагаемые и числом вариантов выпада костей?

Вот на какую тонкость необходимо обратить внимание. Рассмотрим сначала случай, когда на трех костях три разные цифры, скажем 1, 2, и 6. Этот результат может осуществляться шестью вариантами: единица на первой кости, двойка на второй и шестерка на третьей; единица на первой, шестерка на второй, двойка на третьей; также возможны два случая, когда двойка окажется на первой кости и еще два – когда на первой кости выпадет шестерка (этот вариант приведен в таблице).