Читать «Паскаль» онлайн - страница 186

в которой отношение бесконечно малых величин (EE1/EK) выражено отношением конечных величин AD/DI, и равенство:

ДIxЕЕ' = АДxЕК, илиДIxЕЕ' = АДxRR'.

Если же разделить какую-либо дугу четверти круга на малые части и заменить отрезки касательных эквивалентными им при переходе к пределу малыми дугами, то при интегрировании обеих частей этого равенства получается теорема, которая в «Трактате...» Паскаля звучит так: «Сумма синусов какой-либо дуги четверти круга равна отрезку основания между крайними синусами, умноженному на радиус».

«Лейбниц, — пишет советский историк математики И. Б. Погребысский, рассматривая характеристический треугольник Паскаля, — сразу заметил, что это построение и связанный с ним переход от отношения бесконечно малых величин к отношению величин конечных справедливы для любой кривой. Надо только рассматривать АД не как радиус, а как отрезок нормали к кривой, проведенный до пересечения с основанием (осью абсцисс). Это было важным шагом на пути к созданию дифференциального исчисления: характеристический треугольник при переходе к пределу, когда его катеты (^ х и ^ у) становятся бесконечно малыми (dx и dy), остается все время подобным конечному треугольнику, что позволяет уверенно действовать с отношением dy/dx. И Лейбница удивляло, как это Паскаль не заметил общности своего построения, «словно у него на глазах была повязка».

О естественности перевода результатов Паскаля при решении задач в связи с циклоидой на терминологию специальных понятий и абстрактной символики интегрального исчисления, а также о четкости его мышления и ясности языка можно судить и по высказыванию известных французских математиков, выступивших под псевдонимом Н. Бурбаки: «Валлис в 1655 году и Паскаль в 1658 году составили каждый для своего употребления языки алгебраического характера, в которых, не записывая ни единой формулы, они дают формулировки, которые можно немедленно, как только будет понят их механизм, записать в формулах интегрального исчисления. Язык Паскаля особенно ясен и точен; и если не всегда понятно, почему он отказался от применения алгебраических обозначений не только Декарта, но и Виета, все же нельзя не восхищаться его мастерством, которое могло проявиться лишь на основе совершенного владения языком».

3

Научные открытия, сделанные Паскалем весенней ночью, — последний всплеск его математической фантазии, а радость победы вскоре омрачается горечью угрызения совести. Блез искренне мучается оттого, что неистребимое libido sciendi, a вместе с ним и опьяняющее libido dominandi вновь проснулись в его душе. Действительно, в конкурсе с циклоидой горделивое тщеславие и нетерпимость к слабостям соперников опять выявляются в его поведении, как уже случалось в годы молодости. Конкурс был организован с намерением показать, что ни один европейский математик не способен соревноваться с Паскалем, и потому Блез так неумолим в отношении краткости его сроков, резко и нетерпеливо реагирует на всякие возражения, подчеркивает достоинство своих трудов и свысока относится к попыткам конкурентов.