Читать «Паскаль» онлайн - страница 184

Однако, по замечанию советского историка математики Л. С. Фреймана, метод Кавальери страдал существенными логическими противоречиями: «Одним из таких противоречий является то, что неделимое (линия) имеет на одно измерение меньше числа измерений у площади, а совокупность неделимых уже имеет столько же измерений, сколько площадь!» Действительно, при наложении, скажем, друг на друга плоскостей, толщина которых равна нулю, нельзя получить какой-то объем определенной толщины — суммирование нулей дает в итоге нулевой результат.

В своих исследованиях Паскаль преодолел подобные противоречия: он рассматривал неделимые как однородные с измеряемым объектом бесконечно малые величины, из которых и составлялись интегральные суммы. Для демонстрации приемов Паскаля приведем простой пример, упоминаемый французским исследователем его научного творчества Умбертом. Предположим, что необходимо определить площадь криволинейной трапеции АВСД, составленной прямой AB, перпендикулярами к ней АС и ВД и кривой линией СД (см. рис. 4). На оси AB берется ряд близко расположенных друг к другу точек A1, A2, A3..., из которых проводятся перпендикуляры к AB до пересечения с СД в точках C1, С2, С3... Из этих точек проводятся отрезки CC'1, С1С'2, С2С'3..., параллельные AB. Если подсчитать и просуммировать площади прямоугольников ACC'1A1, A1C1C'2A2, А2С2С'3А3..., то получится приближенное значение искомой площади, отличаю-

щееся от нее на сумму площадей криволинейных треугольников CC1C'1, С1С2С'2, С2С3С'3... (заштрихованных на чертеже). Если же предположить, что точки разделения A1, A2, A3... на AB будут бесконечно увеличиваться в количестве и, следовательно, все более сближаться друг с другом, то получаемые бесконечно узкие прямоугольники и будут неделимыми Паскаля (маленькие заштрихованные треугольники в данном случае уменьшаются и как бы стремятся «раствориться» в кривой СД).

Но Паскаль, пишет Умберт, не удовлетворяется простым интуитивным решением: «Он доказывает строгими методами, что сумма площадей этих маленьких треугольников совсем не влияет на общий результат и ею можно пренебречь, ибо она бесконечно мала по сравнению с суммой площадей прямоугольников. Следовательно, для определения искомой поверхности следует подсчитать сумму площадей этих прямоугольников. Каждая из них в отдельности является бесконечно малой величиной (так как основание каждого прямоугольника бесконечно мало), но число прямоугольников бесконечно велико. Таким образом, речь идет о подсчете сумм бесконечно большого количества бесконечно малых величин, то есть о том, что современные математики называют интегрированием. Интегральное исчисление, по крайней мере в своем начале, было искусством подсчета этих сумм и вычисления с их помощью площадей и объемов».

В работах, связанных с циклоидой, Паскаль сделал шаг вперед по сравнению со своими предшественниками на пути дальнейшего совершенствования и обобщения методов интегрирования. Он преобразовал понятие совокупности Кавальери в понятие суммы. При этом, как пишет известный немецкий историк математики Вилейтнер, Паскаль проводил отчетливое различие между неделимыми и элементарными частями и «существенно более общим образом толковал понятие равенства фигур, чем это позволяло употребительное до того определение Евклида. Именно он считал равными две фигуры, если различие между ними меньше любой данной величины. Паскаль с полной ясностью проник в существо интеграционного процесса, заметив, что всякое интегрирование приводится к определению некоторых арифметических сумм. Паскаль подошел к определению интеграла ближе всех своих современников».