Читать «Математика для взрослых. Лайфхаки для повседневных вычислений» онлайн - страница 24

Вычисление корня с помощью карандаша и бумаги требует определенной умственной гимнастики, так что вполне простительно вооружиться калькулятором. Нажимаем клавиши ‹19 √› и получаем 4,3588989… Это десятичная, бесконечно тянущаяся дробь без повторяющихся сочетаний цифр. Такие числа называют иррациональными. Все квадратные корни, которые не являются целыми числами, иррациональны.

Другие степени и корни

Степени могут быть любыми. Помимо квадратов вы еще, скорее всего, столкнетесь только с кубами, например 6³ = шесть в степени три = 6 × 6 × 6 = 216. Кубы используют в основном при вычислении объемов, в простейшем случае – объема кубического сосуда (все стенки которого – квадраты).

Процесс, обратный возведению в куб, называется извлечением кубического корня и обозначается так же, как извлечение корня квадратного, но рядом со значком корня ставится маленькая цифра 3, так, как здесь:

Стало быть, если нам известно, что объем кубического сосуда – 216 кубических метров, то длина каждой его стороны равна кубическому корню из 216, то есть 6 метрам.

Если степень отрицательна, на число под степенью нужно делить. Например, 10⁻³ – десять в степени минус три. Это то же самое, что и

Отрицательные степени часто используют при работе с очень большими или крайне малыми числами, и об этом мы поговорим в следующем разделе.

Нормальная форма

Масса Земли примерно равна 6 000 000 000 000 000 000 000 000 кг.

Официальное название этого числа – шесть септильонов, хотя «шесть с двадцатью четырьмя нулями на конце» звучит понятнее. Можно выразить это не словами, а числами так:

Масса Земли составляет примерно 6 × 10²⁴ кг

Предположим, нам нужно вычислить, сколько будет 6 × 10³. Это то же самое, что и 6 × 1000, поэтому сдвинем 6 на три знака влево и получим 6000. Аналогично 6 × 10²⁴ означает 6 с 24 нулями на конце.

Если вы хотите выразить вес точнее, вместо одной цифры, такой как 6, следует взять десятичную дробь с одним знаком перед запятой и умножить на степень десятки, вот так:

Масса Земли равна 5,9736 × 10²⁴ кг

Это называют записью числа в нормальной форме. Хотя в десятичной дроби гораздо больше цифр, чем одна, множитель × 10²⁴ остался прежним. Умножая на 10²⁴, мы все так же сдвигаем цифры на 24 знака влево, заполняя пустоты нулями. Поскольку цифры 9736 уже занимают четыре знака, просто добавим 20 нулей и получим массу: 5 973 600 000 000 000 000 000 000 кг.

Нормальную форму можно также использовать для очень маленьких чисел.

Масса одного атома водорода равна 1,67 × 10⁻²⁷ кг

На первый взгляд кажется, что масса атома водорода больше массы Земли. Но это не так. И все благодаря крошечному знаку «минус», из‑за которого мы делим, а не умножаем. Поэтому × 10⁻²⁷ – это то же самое, что и ÷ 10²⁷, а значит, нужно передвинуть все цифры на 27 знаков вправо.

Большинство калькуляторов используют нормальную форму, чтобы отображать числа, которые не помещаются на экране. Но вместо 1,67 × 10⁻²⁷ калькулятор, скорее всего, покажет вам 1,67 E−27. («Е» обозначает «экспоненту», иначе говоря, степень.)