Читать «Путевые заметки рассеянного магистра» онлайн - страница 46

И снова шум, гам, крики «ура!»…

— Но самое замечательное, — сказал я, когда активисты наконец усовестились, — что с помощью однозначной суммы цифр можно проверять правильность, а лучше сказать — неправильность некоторых вычислений. Вот, например, сложим числа 138 и 244. Сумма их равна 382. Допустим, мы ошиблись и получили в сумме 381. Произведём проверку. Однозначная сумма цифр числа 138 равна 3, а числа 244 — 1. Сумма этих сумм: 1+3=4. Но так как однозначная сумма цифр числа 381 равна 3, значит, сразу видно, что допущена ошибка. А вот однозначная сумма цифр числа 382 как раз и есть 4. Точно так же можно проверить правильность ответа при умножении и при возведении в степень.

Нулик потребовал немедленных доказательств, но из-за позднего времени мы их отложили и перешли ко второму вопросу.

К счастью, на него ушло гораздо меньше времени, несмотря на то что активисты галдели по-прежнему.

Улучив удобный момент, Сева изловчился и довёл до сведения малопочтенного собрания, как летели утки после выстрела барона Мюнхгаузена.

— Вначале, как вы помните, они летели вереницей, по порядку номеров: 1, 2, 3, 4, 5 и так далее. Но, услышав выстрел, мигом перестроились и образовали в воздухе острый угол. При этом ясно, что одну сторону угла составляли утки с чётными номерами — 2, 4, 6, 8… а другую сторону — с нечётными: 1, 3, 5, 7, 9… И конечно же, на бечёвке оказались утки нечётные. Потому что, когда барон складывал номера этих уток подряд, у него вслед за единицей оказалось число 4 (1+3=4), далее 1+3+5=9, затем 1+3+5+7=16… Таким образом, в сумме у него всё время получались квадраты количества отсчитываемых уток: 1=1², 4=2², 9=3², 16=4² и так далее.

— До-ка-за-тель-ства! До-ка-за-тель-ства! — скандировали активисты.

— Обратите внимание, — успокоил их Олег, — любое нечётное число можно получить, умножив его порядковый номер на два и вычтя затем единицу. Например, 7 — четвёртое по порядку нечётное число. Умножим 4 на 2 и вычтем 1 — получим: 4*2–1=7. Обобщая это правило, можно сказать, что всякое «иксовое» нечётное число равно (2x-1). А теперь сложим икс последовательных нечётных чисел, начиная с единицы. По правилу арифметической прогрессии надо сложить первый и последний члены, умножить сумму на число всех членов и разделить на два. Итак, обозначив сумму икс членов латинской буквой S, найдём, что

— Что и требовалось доказать, — закончил Олег под дружный вздох удовлетворения.

Переждав очередной взрыв активистских эмоций, Таня быстро и толково разобралась в другой закономерности утиных номеров. Она обратила внимание присутствующих на то, что если брать по порядку сперва число 1, затем сумму двух последующих нечётных чисел: 3+5, далее сумму трех последующих нечётных чисел: 7+9+11, затем — сумму четырех и так далее, то при этом как раз получается та любопытная зависимость, которую подметила Единичка. Эти суммы представляют из себя кубы последовательных целых чисел: