Читать «Число, пришедшее с холода. Когда математика становится приключением» онлайн - страница 36

Чудовищное количество следующих дробей скромно представлено в этой формуле многоточием (…) после последнего знака плюс. Эти точки, по Ньютону и Лейбницу, символизировали бесконечноемножество дробей, каждая из которых была вдвое меньше предыдущей и вдвое больше следующей, и все эти дроби надо было сложить друг с другом. Никто, однако, не сможет осуществить сложение бесконечного множества слагаемых. Это невозможно сделать ни в голове, ни на бумаге карандашом, ни на бухгалтерских счётах, ни даже с помощью самого современного компьютера.

Открывателям «исчисления» все это было, без сомнения, понятно, но они полагали, что, если мы, слабые, несовершенные люди, можем сложить лишь конечное число слагаемых, то всемогущий Бог — для Ньютона и Лейбница это был не один из египетских богов, а христианский Бог — в неизреченной мудрости своей может сделать это без проблем. Втайне они были очень горды тем, что с помощью «исчисления» им, по меткому выражению Эйнштейна, удалось «заглянуть в карты старика», проникнуть в тайны Всемогущего с помощью обхождения с бесконечностями.

Как действовали открыватели «исчисления»? Они говорят, что мы хотим вычислить бесконечную сумму

Здесь надо сложить бесконечное множество слагаемых. Первое слагаемое равно ½, а каждое следующее слагаемое вдвое меньше предыдущего. Уберем из суммы первое слагаемое, а именно ½, и у нас останется

Совершенно очевидно, что это ровно половина от предыдущей суммы. Эта половина ровно на одну вторую меньше предыдущей суммы. Следовательно, предыдущая сумма равна в точности единице, ибо если из единицы вычесть одну вторую, то останется одна вторая, а это ровно половина единицы.

Тот, кто читает это в первый раз, будет вначале несколько обескуражен, потому что этот аргумент выглядит как шулерский трюк. Однако если прочитать все это медленно и несколько раз, то можно проникнуться ходом мыслей и убедиться в безупречной, впечатляющей логике этой последовательности рассуждений.

Кого эта логика точно бы не впечатлила, так это Архимеда. Его толкование было более убедительным: с одной стороны, каждая конечная сумма фрагментов уджата меньше единицы. С другой стороны, каждое число, меньшее единицы, будет превзойдено конечной суммой долей уджата, если Тот добавит достаточное количество новых фрагментов. Таким образом, сумма долей уджата приближается к числу 1 с любой произвольной степенью точности. Большего об этой сумме сказать нельзя.

То, что Архимед прав в своем скепсисе, показывает следующий пример другой бесконечной суммы, а именно:

1 + 2 + 4 + 8 + 16 + …

Если мы примем сторону открывателей «исчисления», то аналогичный ход мыслей выглядит так: мы хотим вычислить бесконечную сумму, утверждают Ньютон и Лейбниц. Для этого надо сложить бесконечное число слагаемых. Первое слагаемое равно единице, а каждое следующее слагаемое вдвое больше предыдущего. Уберем первое слагаемое, и у нас останется