Читать «Стратегические игры» онлайн - страница 559

Рассмотрим конкретный аукцион с n участниками. Для простоты системы обозначений выберем единицы измерения так, чтобы стоимость объекта с общей ценностью (приза) была равна 1. Очевидно, что предложение цены больше 1 приведет к проигрышу, поэтому мы ограничиваем его значения диапазоном от 0 до 1. Проще представить цену предложения в виде непрерывной переменной x, которая может принимать любое (вещественное) значение в интервале [0, 1]. Поскольку равновесие будет в смешанных стратегиях, цена предложения каждого участника аукциона будет представлять собой непрерывную случайную переменную x. Учитывая, что вы получите выставленный на продажу объект, только если остальные участники торгов предложат цену ниже вашей, вашу равновесную смешанную стратегию можно обозначить как P(x) — вероятность того, что ваша цена примет значение меньше x; например, P(1/2) = 0,25 будет означать, что ваша равновесная стратегия подразумевает предложение цены меньше 1/2 в одной четверти случаев (а больше 1/2 в трех четвертях случаев).

Как обычно, будем искать равновесие в смешанных стратегиях с помощью условия безразличия. Каждому участнику торгов должно быть безразлично, какое именно значение x выбрать, при условии, что остальные играют в соответствии со своими вероятностями применения чистых стратегий в смешанной стратегии. Предположим, вы как один из n участников торгов предлагаете цену x. Вы выиграете, если остальные (n — 1) участников торгов предложат цену меньше x. Вероятность того, что любой другой покупатель предложит цену меньше x, равна P(x); вероятность того, что два других предложат цену меньше x, равна P(x) × P(x), или [P(x)]²; вероятность того, что все (n — 1) других участников предложат цену меньше x, равна P(x) × P(x) × P(x)…, умноженное на себя (n — 1) раз, или [P(x)]^{n —  1}. Следовательно, вы выиграете приз 1 с вероятностью [P(x)]^n — 1. Не забывайте, что вы платите x, что бы ни произошло. Таким образом, ваш чистый ожидаемый выигрыш при любом значении цены предложения x составит [P(x)]^n — 1 — x. Однако вы могли бы гарантированно получить приз 0, предложив цену 0. Таким образом, поскольку вам должно быть безразлично, какое значение x выбрать (в том числе 0), условие, определяющее равновесие, выглядит так: [P(x)]^n — 1 — x = 0. В полном равновесии в смешанных стратегиях оно должно выполняться при всех значениях x. Стало быть, цена предложения, соответствующая равновесной смешанной стратегии, составляет P(x) = x ^{1/(n — 1)}.

Пара примерных расчетов иллюстрируют, что здесь имеется в виду. Во-первых, рассмотрим случай, в котором n = 2; тогда P(x) = x при всех значениях x. Значит, вероятность предложить в качестве цены число, попадающее между двумя заданными уровнями x₁ и x₂, равна P(x₂) — P(x₁) = x₂ — x₁. Поскольку вероятность того, что цена предложения попадает в определенный интервал, — это просто длина интервала, любая цена предложения должна быть в равной степени вероятной, как и любая другая цена. Иначе говоря, цена предложения в вашей равновесной смешанной стратегии должна случайно и равномерно распределяться по всему интервалу от 0 до 1.