Читать «Математический аппарат инженера» онлайн - страница 55

Глава 2

Множества

Элементами множеств могут быть самые разнообразные предметы: буквы, атомы, числа, функции, точки, углы и т.д. Отсюда с самого начала ясна чрезвычайная широта теории множеств и ее приложимость к очень многим областям знания.

Н. Н. Лузин

Одной из характерных черт современной математики и ее приложений является господство теоретико-множественной точки зрения. Язык теории множеств, включающий большое число различных понятий и связей между ними, все глубже проникает в техническую литературу. Поэтому инженер должен понимать этот язык и уметь им пользоваться.

Алгебраические операции над множествами и их свойства излагаются с применением кругов Эйлера и диаграмм Венна, а бинарные отношения иллюстрируются на матрицах и графах. Благодаря этому основные понятия теории множеств получают наглядное представление в привычной для инженера графической или табличной форме.

Центральное место в этой главе занимает теория отношений, которая оказалась простым и удобным аппаратом для самых разнообразных задач. На ее основе обобщается понятие функции, применимое не только к числовым множествам, но и к множествам объектов любой природы. Особо выделяются три типа бинарных отношений: эквивалентность, упорядоченность и толерантность, которые наиболее часто встречаются в практике.

Большое значение в математике имеют отношения, называемые законами композиции, которые ставят в соответствие паре каких-либо элементов третий элемент из одного и того же или из различных множеств. Определяя не некотором множестве один или два таких закона и наделяя их некоторыми свойствами, получаем различные алгебраические системы: группы, кольца, поля, тела и т.д. Эти и подобные им абстрактные понятия являются обобщениями самых разнообразных объектов исследования как в самой математике, так и в специальных областях науки и техники. В качестве примеров рассматриваются наиболее интересные с прикладной точки зрения алгебраические системы (группы подстановок, кольцо многочленов, тело кватернионов, поле комплексных чисел и др.).

- 85 -

Результатом далеко идущих обобщений обычного трехмерного пространства явилось понятие абстрактного пространства, которое в самом общем виде определяется как некоторое множество с заданными на нем отношением или законами композиции. Конкретизация множеств, свойств отношений и законов композиции приводит к различным типам пространств: метрическим и топологическим, линейным и евклидовым и т.д.

В заключительном параграфе настоящей главы излагаются основные понятия и методы комбинаторики. Ее основная задача состоит в исследовании расположения, упорядочения или выборки элементов конечных множеств в соответствии со специальными правилами и нахождении числа способов, которыми это может быть сделано. Комбинаторные методы находят все более широкое применение в инженерном деле, например, при решении транспортных задач, составлении расписаний, планировании производства, организации снабжения и сбыта, статистических методах контроля, составлении и декодировании шифров для передачи сообщений и т.п.