Читать «Математический аппарат инженера» онлайн - страница 52

- 80 -

(1,3),(1,4),(2,1),(2,2),(2,3),(3,1),(3,2),(4,1)}, соответствующее событию В, служит основным для события А, то

P_B(A) = 2/10 = 1/5,

и следовательно получаем:

P(A ∩ B) = P(B)P_B(A)= 5/18 · 1/5 = 1/18;

P(A ∪ B) = P*A) + P(B) — P(B)P_B(A) = 1/6+5/18-5/18· 1/5=7/18.

Общее условие несовместности событий выражается как

P(A ∩ B) = 0,

что соответствует A ∩ B = ∅. Так, в рассматриваемом примере A ∩ B = {(1,1),(2,2)} ≠ ∅, следовательно, события А и В совместны.

Независимые события А и В при ненулевых вероятностях P(A) и P(B) всегда совместны. Действительно, из соотношения P(A ∩ B) = P(A)(B) имеем P(A ∩ B) ≠ 0, а значит и A ∩ B ≠ ∅, что свидетельствует о совместности независимых событий. Однако совместность событий не обязательно влечет их независимость. Из условия A ∩ B ≠ ∅ при P(A ∩ B) ≠ 0 следует лишь, что P(A ∩ B) ≠ 0 и условная вероятность P_A(B) ≠ 0. Но может иметь место неравенство P_A(B) = P(B), что означает зависимость рассматриваемых совместных событий.

Зависимые события А и В при ненулевых вероятностей P(A) и P(B) могут быть как совместными, так и несовместными. В первом случае A ∩ B ≠ ∅, и поэтому условные вероятности P_A(B) и P_B(A) не равна нулю, т.е. одно из событий может наступить при условии, что произошло другое событие. Во втором случае A ∩ B = ∅, следовательно, условные вероятности зависимых и несовместных событий P_A(B) = P_B(A) = 0. Это значит, что пир наступлении события А событие В произойти уже не может, а наступлении события В не может произойти событие А. В то же время из несовместности событий (A ∩ B = ∅) следует их зависимость, что выражается равенством нулю условных вероятностей P_A(B) и P_B(A). Иначе говоря, если события А и В несовместны, то при наступлении одного из них другое произойти не может, т.е. несовместные событие не могут быть независимыми.

Несовместность совокупности событий A₁, A₂, ..., A_n, следует из их попарной несовместимости, т.е. из условия

A_i ∩ A_j = ∅ (i,j = 1,2,..., n; i ≠ j).

- 81 -

Однако полная независимость совокупности событий, вообще говоря, еще не определяется их попарной независимостью. Кроме условий

P(A_i ∩ A_j) = P(A_i)P(A_j) (i,j = 1,2,..., n; i ≠ j),

должны выполняться также аналогичные условия для любых сочетаний по 3, 4, ... , n событий. Например, для трех событий условие полной независимости выражается системой соотношений:

P(A₁ ∩ A₂) = P(A₁)P(A₂);

P(A₁ ∩ A₃) = P(A₁)P(A₃);

P(A₂ ∩ A₃) = P(A₂)P(A₃);

P(A₁ ∩ A₂ ∩ A₃) = P(A₁)P(A₂)P(A₃).

Невыполнение хотя бы одного из этих соотношений свидетельствовало бы о том, что события A₁, A₂ и A₃ в совокупности зависимы. На практике, однако, попарная независимость обычно влечет за собой и независимость в совокупности.

Задачи и упражнения

1. Какова вероятность угадать все шесть номеров (из 49) в спортлото?

2. Из урны, содержащей 8 белых и 12 черных шаров, вынимают один шар. Какова вероятность того, что он будет белым; что он будет черны?

3. Найдите на основе рассмотрения множества событий при бросании двух игральных костей (каждая кость имеет шесть равноправных граней, пронумерованных от 1 до 6) вероятность следующих событий: