Читать «Математический аппарат инженера» онлайн - страница 41

0̅ = 1; x ∨ 1 =1; x ∧ 0 = 0 и т. д.

- 64 -

Так, законы идемпотентности доказываются следующими преобразованиями:

х ∨ х = (х ∨ х) ∧ 1 = (х ∨ х) ∧ (х ∨ x̅ ) = х ∨ (х ∧ (х ∨ х)) = х ∨ 0 = х;

х ∧ х = (х ∧ х) ∨ 0 = (х ∧ х) ∨ (х ∧ x̅ ) = х ∧ (х ∨ x̅ ) = х ∧ 1 = х.

Используя полученные соотношения, имеем:

х ∨ 1 = x ∨ ( x ∨ x̅ ) = (х ∨ х) ∨ x̅ = х ∨ x̅ = 1; x ∧ 0 = x ∧ ( x ∧ x̅ ) = x ∧ x̅ = 0.

Доказательство законов поглощения имеет вид:

x ∨ (x ∧ y) = (x ∧ 1) ∨ (x ∧ y) = x ∧ (1 ∧ y) = x ∧ 1 = x;

x ∧ (x ∨ y) = (x ∨ 0) ∧ (x ∨ y) = x ∨ (y ∧ 0) = x ∨ 0 = x.

Соотношение = х доказывается следующим образом:

из х ∨ x̅ = 1 по закону коммутативности следует x̅ ∨ x = 1, откуда сравнением с = 1 имеем х = .

Интересно доказательство закона де Моргана. На основании свойств отрицания равенство функций x̅ ̅∨̅ ̅y̅ и x̅ ∧ y̅ должно означать, что

(х ∨ у) ∨ ( x̅ ∧ y̅ ) = 1 и (х ∨ у) ∨ ( x̅ ∧ y̅ ) = 0.

Действительно,

(х ∨ у) ∨ ( x̅ ∧ y̅ ) = ((х ∨ у) ∨ x̅ ) ∧ ((х ∨ у) ∨ y̅ ) = (( x ∧ x̅ ) ∨ y ) ∧ (x ∨ (y ∨ y̅ )) =

= (1 ∨ y) ∧ (x ∨ 1) = 1 ∧ 1 = 1, а также

(х ∨ у) ∧ ( x̅ ∧ y̅ ) = (х ∧ ∨ ( x̅ ∧ y̅ ) = (у ∧ ( x̅ ∧ y̅ ) = ((x ∧ x̅ ) ∧ y̅ ) ∨ ((y ∧ y̅ ) ∧ x̅ ) =

= (0 ∧ y̅ ) ∨ ( x̅ ∧ 0) = 0 ∨ 0 = 0.

Следовательно, соотношение x̅ ̅∨̅ ̅y̅ = x̅ ∧ y̅ доказано. Аналогично доказывается и второй закон.

Упрощение записи формул.Операции дизъюнкции и конъюнкции удовлетворяют законам коммутативности и ассоциативности. Поэтому если переменные или формулы связаны только посредством одной из этих операций, то их можно выполнять в лгсбом порядке, а формулы записывать без скобок. Например:

((х₁ ∨ x₂) ∨ (х₃ ∨ x₄) ∨ х₅ = х₁ ∨ x₂ ∨ х₃ ∨ x₄ ∨ х₅,

а также (х₁ ∧ x₂) ∧ (x₃ ∧ (х₄ ∧ x₅) = х₁ ∧ x₂ ∧ x₃ ∧ х₄ ∧ x₅.

Если считать, что операция конъюнкции должна предшествовать операции дизъюнкции (конъюнкция связывает сильнее дизъюнкции), то можно опустить скобки, в которые заключены формулы со знаком конъюнкции. При наличии скобок в первую очередь должны выполняться операции внутри скобок, независимо от их старшинства. Обычно опускают также скобки, в которые заключены формулы со знаком отрицания.

Еще одно упрощение связано с символикой. Знак конъюнкции в формулах можно опустить и вместо х ∧ у писать ху. Операцию конъюнкции часто называют логическим умножением, а операцию дизъюнкции - логическим сложением.

С учетом приведенных условий запись существенно упрощается. Например, формуле (x ∧ (y ∧ z̅ )) ∨ (( x̅ ̅∨̅ ̅y̅ ) ∧ z) соответствует запись xyz̅ ∨ x̅ ̅∨̅ ̅y̅ z.

7. Переключательные схемы. В качестве одной из интерпретаций булевых функций рассмотрим электрическую схему, состоящую из источника напряжения (батареи), лампочки и одного или двух ключей (х₁ и x₂). Ключи управляются кнопками с двумя состояниями: кнопка нажата (1) и кнопка отпущена (0). Если в исходном состоянии ключ разомкнут, то при нажатии кнопки он замыкается.

- 65 -

Ключ может быть сконструирован и так, что в исходном состоянии он замкнут, тогда нажатие кнопки означает его размыкание, т. е. приводит к противоположному результату. Поэтому нормально замкнутые ключи обозначим через x̅₁ и x̅₂.