Читать «Математический аппарат инженера» онлайн - страница 32

- 51 -

Если существенные свойства графа не связаны со способом его изображения на плоскости или нумерацией вершин и ребер, то изоморфные графы, как правило, не различают между собой.

8. Маршруты. Нередко задачи на графах требуют выделения различных маршрутов, обладающих определенными свойствами и характеристиками. Маршрут длины m определяется как последовательность т ребер графа (не обязательно различных) таких, что граничные вершины двух соседних ребер совпадают. Маршрут проходит и через все вершины, инцидентные входящим в него ребрам. Примерами маршрутов на графе Рис. 9, а могут служить последовательности ( e₁, e₃, e₂, e₃, e₅ ), ( e₅, e₆, e₄, e₄). Первый маршрут проходит через последовательность вершин ( v₁, v₂, v₃, v₂, v₃, v₅ ) и соединяет вершины v₁ и v₅ a второй — через последовательность вершин ( v₃, v₅, v₅, v₂, v₅ ) и соединяет вершины v₃ и v₅. Замкнутый маршрут приводит в ту же вершину, из которой он начался.

Маршрут, все ребра которого различны, называется цепью, а маршрут, для которого различны все вершины, называется простой цепью. Замкнутая цепь называется циклом, а простая цепь - простым циклом. Так, на графе Рис. 9, а ( e₂, e₅, e₆ ) - цепь, ( e₁, e₂, e₅ ) -простая цепь, ( e₂, e₃, e₄, e₅ ) - цикл, ( e₂, e₄, e₅ ) - простой цикл.

Цикл, который содержит все ребра графа, называется эйлеровым циклом (задача о кенигсбергских мостах сводится к выяснению существования такого цикла), а граф, в котором имеется такой цикл, называется эйлеровым графом. Простой цикл, который проходит через все вершины графа, называют гамильтоновым. Если критерий существования эйлерового цикла очень прост (необходимо, чтобы степени всех вершин были четными), то для гамильтоновых циклов никакого общего правила не найдено.

Ориентированные маршруты на орграфе определяются аналогично с той разницей, что начальная вершина каждой последующей дуги маршрута должна совпадать с конечной вершиной предыдущей дуги. Иначе говоря, движение по маршруту допускается только в направлениях, указанных стрелками. Маршрут, не содержащий повторяющихся дуг, называется путем, а не содержащий повторяющихся вершин - простым путем. Замкнутый путь называется контуром, а простой замкнутый путь - простым контуром. Граф (орграф) называется циклическим (контурным), если он содержит хотя бы один цикл (контур), в противном случае он называется ациклическим (бесконтурным).

- 52 -

Понятия цепи и цикла применимы и к ориентированным графам. При этом направления дуг не учитываются, т. е. по существу вместо орграфа рассматривают неориентированный соотнесенный ему граф.

9. Части графа. Граф G' = (V', Е') является частью графа G = (V, Е), если V' ⊂ V и Е' ⊂ Е, т. е. граф содержит все вершины и ребра любой его части. Часть, которая, наряду с некоторым подмножеством ребер графа, содержит и все инцидентные им вершины, называется подграфом. Часть, которая наряду с некоторым подмножеством ребер графа, содержит все вершины графа (V’=V, Е' ⊂ Е), называется суграфом. Рассмотренные графы показаны на Рис. 11.