Читать «Математический аппарат инженера» онлайн - страница 31

Для взвешенного графа, не содержащего кратных ребер, можно обобщить матрицу смежности так, что каждый ее ненулевой элемент равняется весу соответствующего ребра или дуги. Обратно, любая квадратная матрица n-го порядка может быть представлена орграфом с n вершинами, дуги которого соединяют смежные вершины и имеют веса, равные соответствующим элементам матрицы. Если матрица симметрична, то она представима неориентированным графом.

6. Инцидентность. Если вершина v_i, является концом ребра e_k то говорят, что они инцидентны: вершина v_i инцидентна ребру e_k и ребро e_k, инцидентно вершине v_i. В то время как смежность представляет собой отношение между однородными объектами (вершинами), инцидентность — это отношение между разнородными объектами (вершинами и ребрами). При рассмотрении орграфов различают положительную инцидентность (дуга исходит из вершины) и отрицательную инцидентность (дуга заходит в вершину).

Рассматривая инцидентность вершин и ребер (p и q) - графа, можно представить его матрицей инцидентности размера p × q, строки которой соответствуют вершинам, а столбы - ребрам. Для неориентированного графа элементы этой матрицы определяются по следующему правилу: ij-элемент равен 1, если вершина v_i, инцидентна ребру e_i, и равен нулю, если v_i, и e_i, не инцидентны.

- 50 -

В случае орграфа ненулевой ij-элемент равен 1, если v_i начальная вершина дуги e_i, и равен - 1, если v_i - конечная вершина дуги e_i.

Например, матрица инцидентности графа, приведенного на Рис. 9, а, имеет вид:

Каждый столбец матрицы инцидентности содержит обязательно два единичных элемента (для орграфа эти элементы всегда имеют различные знаки и равны соответственно 1 и —1). Количество единиц в строке равно степени соответствующей вершины (для орграфа количество положительных единиц определяет положительную степень, а количество отрицательных единиц — отрицательную степень). Нулевая строка соответствует изолированной вершине, а нулевой столбец - петле.

Рис. 10. Изоморфные графы

Следует иметь в виду, что нулевой столбец матрицы инцидентности лишь указывает на наличие петли, но не содержит сведений о том, с какой вершиной эта петля связана (в практических приложениях это может быть несущественно).

7. Изоморфизм. На Рис. 10 изображены три графа, которые с геочетрической точки зрения совершенно различны (пересечение ребер, если оно не отмечено точкой, не является вершиной). Но по существу они различаются лишь начертанием, а отношения инцидентности (при соответствующем обозначении вершин и ребер) для них одинаковы. Графы, для которых сохраняется отношение инцидентности, называются изоморфными.

Ясно, что матрица инцидентности определяет граф без петель с точностью до изоморфизма. Обычно на ее основе можно изобразить различные в геометрическом отношении, но изоморфные между собой графы, каждый из которых называют геометрической реализацией. Графы, которые имеют одинаковые начертания и отличаются лишь нумерацией вершин и ребер, не будучи тождественными, являются изоморфными.