Читать «Математический аппарат инженера» онлайн - страница 27

1. Происхождение графов. Многие задачи сводятся к рассмотрению совокупности объектов, существенные свойства которых описываются связями между ними. Например, глядя на карту автомобильных дорог, можно интересоваться только тем, имеется ли связь между некоторыми населенными пунктами, отвлекаясь от конфигурации и качества дорог, расстояний и других подробностей. При изучении электрических цепей на первый план может выступать характер соединений различных ее компонентов - резисторов, конденсаторов, источников и т. п. Органические молекулы образуют структуры, характерными свойствами которых являются связи между атомами. Интерес могут представлять различные связи и отношения между людьми, событиями, состояниями и вообще между любыми объектами.

В подобных случаях удобно рассматриваемые объекты изображать точками, называемыми вершинами, а связи между ними - линиями (произвольной конфигурации), называемыми ребрами. Множество вершин V, связи между которыми определены множеством ребер Е, называют графом и обозначают 0 = (V, Е).

Первая работа по графам была опубликована двадцатилетним Леонардом Эйлером в 1736 г., когда он работал в Российской Академии наук. Она содержала решение задачи о кенигсбергских мостах

Рис. 7. К задаче о кенигсбергских мостах:

а — план города; б — граф.

(рис. 7, а): можно ли совершить прогулку таким образом, чтобы выйдя из любого места города, вернуться в него, пройдя в точности один раз по каждому мосту? Ясно, что по условию задачи не имеет значения, как проходит путь по частям суши а, b, с, d, на которых расположен г. Кенигсберг (ныне Калининград), поэтому их можно представить вершинами. А так как связи между этими частями осуществляются только через семь мостов, то каждый из них изображается ребром, соединяющим соответствующие вершины. В результате

- 45 -

получаем граф, изображенный на рис. 7, б. Эйлер дал отрицательный ответ на поставленный вопрос. Более того, он доказал, что подобный маршрут имеется только для такого графа, каждая из вершин которого связана с четным числом ребер.

С тех пор поток задач с применением графов нарастал подобно снежной лавине. Наряду с многочисленными головоломками и игграми на графах, рассматривались важные практические проблемы, многие из которых требовали тонких математических методов. Уже в середине прошлого века Кирхгоф применил графы для анализа электрических цепей, а Кэли исследовал важный класс графов для выявления и перечисления изомеров насыщенных углеводородов.

Однако теория графов как математическая дисциплина сформировалась только к середине тридцатых годов нашего столетия благодаря работам многих исследователей, наибольшая заслуга среди которых принадлежит Д. Кенигу. Значительный вклад в теорию графов внесли советские ученые Л. С. Понтрягин, А. А. Зыкоз, В. Г. Визинг и др.

Теория графов располагает мощным аппаратом решения прикладных задач из самых различных областей науки и техники. Сюда относятся, например, анализ и синтез цепей и систем, проектирование каналов связи и исследование процессов передачи информации, построение контактных схем и исследование конечных автоматов, сетевое планирование и управление, исследование операций, выбор оптимальных маршрутов и потоков в сетях, моделирование жизнедеятельности и нервной системы живых организмов, исследование случайных процессов и многие другие задачи. Теория графов тесно связана с такими разделами математики, как теория множеств, теория матриц, математическая логика и теория вероятностей. Во всех этих разделах графы применяют для представления различных математических объектов, и в то же время сама теория графов широко использует аппарат родственных разделов математики.