Читать «Истину можно вычислить. Хронология глазами математики.» онлайн - страница 9

Перейдем теперь к более детальному описанию статистической модели. Конечно, для реальных графиков объема одновременность их всплесков может иметь место лишь приблизительно. Для оценки того, насколько одновременно оба графика делают всплески, математический аппарат статистики позволяет определить некоторое число p(X, Y), измеряющее несовпадение лет, подробно описанных в летописи X, и лет, подробно описанных в летописи Y. Оказывается, если рассматривать наблюдаемую близость всплесков обоих графиков как случайное событие, то число p(X, Y) можно рассматривать как вероятность этого события (что, впрочем, вовсе не обязательно для эффективности метода). Чем меньше это число, тем лучше совпадают годы, подробно описанные в X, с годами, подробно описанными в Y. Дадим математическое определение коэффициента p(X, Y).

Рассмотрим интервал времени (А, В) и график объема vol X(t), который достигает локальных максимумов в некоторых точках m₁, …, m_n-1. Мы считаем для простоты, что каждый локальный максимум (всплеск) достигается ровно в одной точке. Эти точки, то есть годы, m разбивают интервал (А, В) на некоторые отрезки, вообще говоря, разной длины, см. рис. 6. Измеряя длины получившихся отрезков в годах, то есть, измеряя расстояния между точками соседних локальных максимумов m_i и mi₊₁, мы получаем последовательность целых чисел а(X) = (x₁, …, x_n). То есть число x₁ — это расстояние от точки А до первого локального максимума. Число x₂ — это расстояние от первого локального максимума до второго. И так далее. Число x_n — это расстояние от последнего локального максимума m_n-1 до точки В.

Рис. 6. Точки всплесков графика объема летописи разбивают отрезок времени (А, В) на интервалы.

Эту последовательность можно изобразить вектором а(X) в евклидовом пространстве Rⁿ размерности n. Например, в случае двух локальных максимумов, то есть если n = 3, мы получаем целочисленный вектор а(X) = (х₁, х₂, x₃) в трехмерном пространстве. Назовем вектор а(X) = (x₁, …, x_n) ВЕКТОРОМ ЛОКАЛЬНЫХ МАКСИМУМОВ летописи X.

Для другой летописи Y мы получим, вообще говоря, другой вектор a(Y) = (y₁, …, y_m). Будем считать, что летопись Y описывает события на интервале времени (С, D), длина которого равна длине интервала (А, В), то есть В — А = D — С. Чтобы сравнить графики объемов летописей X и Y, мы предварительно совместим друг с другом два отрезка времени (А, В) и (С, D) одинаковой длины, наложим их друг на друга. Конечно, число локальных максимумов у графиков vol X(t) и vol Y(t) может быть различно. Однако без ограничения общности можно считать, что число максимумов одинаково, а потому векторы а(X) и a(Y) двух сравниваемых летописей X и Y имеют одинаковое число координат. В самом деле, если число максимумов у двух сравниваемых графиков различно, то можно поступить так. Будем считать некоторые максимумы КРАТНЫМИ, то есть считать, что в этой точке слились вместе несколько локальных максимумов. При этом длины соответствующих отрезков, отвечающих этим кратным максимумам, можно считать равными нулю. Пользуясь этим соглашением, можно уравнять число локальных максимумов у графиков объемов летописей X и Y. Конечно, такая операция — введение кратных максимумов — неоднозначна. Фиксируем пока какой-либо вариант введения кратных максимумов. В дальнейшем мы избавимся от указанной неоднозначности, минимизировав нужные нам коэффициенты близости по всем возможным способам введения кратных максимумов. Отметим, что введение кратных максимумов означает, что у вектора а(X) на некоторых местах появляются нулевые компоненты, то есть отрезки нулевой длины.