Читать «Истину можно вычислить. Хронология глазами математики.» онлайн - страница 10

Итак, сравнивая летописи X и Y, можно считать, что оба вектора а(X) = (х₁, …, x_n) и а(Y) = (y₁, …, y_n) имеют одно и то же число координат и поэтому лежат в одном и том же евклидовом пространстве Rⁿ. Отметим, что у каждого из этих векторов сумма его координат одна и та же и равна В — А = D — С, то есть длине интервала времени (А, В). Итак:

x₁ + … + x_n = y₁ + … + y_n = В — А.

Рассмотрим теперь множество всех целочисленных векторов с = (с₁, …, c_n), у которых все координаты неотрицательны и их сумма c₁ + … + c_n равна одному и тому же числу, а именно В — А, то есть длине временнóго интервала (А, В). Обозначим множество всех таких векторов через S. Геометрически эти векторы можно изобразить так. Будем считать, что все они выходят из начала координат, то есть из точки О в Rⁿ. Рассмотрим концы всех таких векторов с = (с₁, …, c_n). Все они лежат на многомерном симплексе L, определяемом в пространстве Rⁿ уравнением

c₁ + … + c_n = В — А,

где все координаты c₁, …, c_n являются вещественными неотрицательными числами. Множество S геометрически изображается как множество всех точек из L, имеющих целочисленные координаты.

Ясно, что концы векторов локальных максимумов а(X) и а(Y) для летописей X и Y принадлежат множеству S, рис. 7.

Рис. 7. Векторы локальных максимумов а(X) и а(Y) двух сравниваемых летописей X и Y можно условно изобразить двумя векторами в евклидовом пространстве.

Фиксируем теперь вектор а(X) = (х₁, …, x_n) и рассмотрим все векторы с = (с₁, …, c_n) с вещественными координатами, принадлежащие симплексу L, и такие, что они удовлетворяют еще одному дополнительному соотношению:

(c₁ — x₁)² + … + (c_n — x_n)² < (y₁ — x₁)² + … + (y_n — x_n)².

Множество всех таких векторов с = (c₁, …, с_n) мы обозначим через К.

Математически эти векторы описываются как удаленные от фиксированного вектора а(X) на расстояние, не превышающее расстояния r(X, Y) от вектора а(X) до вектора а(Y). Говоря здесь о расстоянии между векторами, мы имеем в виду расстояние между их концами. Напомним, что величина

(y₁ — x₁)² + … + (y_n — x_n)²

равна квадрату расстояния r(X, Y) между векторами а(X) и а(Y). Поэтому множество К — это часть симплекса L, попавшая в n-мерный шар радиуса r(X, Y) с центром в точке а(X).