Читать «Глазами физика. От края радуги к границе времени» онлайн - страница 207

Если сравнить двух млекопитающих, одно из которых в пять раз больше другого (следовательно, длина l его бедренной кости примерно в пять раз больше), можно ожидать, что толщина d его бедренной кости будет приблизительно в 5^3/2 = 11 раз больше толщины бедренной кости меньшего животного. На своих лекциях я показываю, что длина l бедренной кости слона примерно в 100 раз больше длины бедренной кости мыши; следовательно, если идея Галилео верна, следует ожидать, что толщина d бедренной кости слона приблизительно в 100^3/2 = 1000 раз больше кости мыши.

Таким образом, на определенном этапе роста и развития толщина бедренных костей очень тяжелых млекопитающих должна была бы сравняться с длиной этих костей – или даже стать больше ее, – что сделало бы, по сути, этих животных нежизнеспособными. Очевидно, именно по этой причине мудрая природа ввела максимальные ограничения на размеры млекопитающих.

Приложение II

Законы Ньютона в действии

Закон всемирного тяготения Ньютона можно записать следующим образом:

F_тяг – сила гравитационного притяжения между объектами с массой m₁ и m₂, а r – расстояние между ними. G – это так называемая гравитационная константа.

Законы Ньютона в принципе позволили нам вычислить по крайней мере массу Солнца и некоторых планет.

Давайте посмотрим, как это работает. Начну с Солнца. Допустим, m₁ – масса Солнца, а m₂ – масса планеты (любой). Предположим, что орбита планеты представляет собой окружность с радиусом r, а ее орбитальный период равен Т (Т составляет 365,25 дня для Земли, 88 дней для Меркурия и почти 12 лет для Юпитера).

Если орбита круговая или почти круговая (что характерно для пяти из шести планет, известных ученым в XVII веке), темп вращения планеты на орбите будет стабильным, но направление ее скорости постоянно меняется. Однако при изменении направления скорости любого объекта, даже без изменения ее величины, непременно имеет место ускорение, и, следовательно, согласно второму закону Ньютона, должна быть сила, обеспечивающая его.

Эту силу называют центростремительной (F_ц), и она всегда направлена точно от движущейся планеты к Солнцу. Конечно, поскольку Ньютон был Ньютоном, он знал, как вычислить эту силу (я вывожу это уравнение на своих лекциях); ее величина такова:

Здесь v – скорость планеты на орбите. Но эта скорость равна окружности орбиты, 2πr, поделенной на время, T, требуемое для одного оборота вокруг Солнца. Таким образом, мы можем также записать:

Откуда же берется эта сила? Каково ее происхождение? Ньютон понял, что это должно быть гравитационное притяжение Солнца. Следовательно, две силы в приведенных выше уравнениях являются, по сути, одной и той же силой и друг другу равны:

Еще немного поиграв с перестановкой переменных (кстати, отличный шанс освежить школьные знания алгебры), получаем, что масса Солнца составляет: