Читать «Многоликий солитон» онлайн - страница 32

Таким образом, волны вовсе не проходят свободно друг через друга! Они как бы сталкиваются и отталкиваются друг от друга подобно теннисным мячам.

Аналогия с теннисными мячами позволяет понять и только что описанный «сдвиг» уединенных волн при столкновении, который никак нельзя объяснить, если считать, что они свободно проходят друг через друга. Для описания столкновения двух равномерно летящих (без вращения) по одной прямой мячей удобно представить себе сначала их относительное движение (рис. 2.4). Если скорость левого мяча V₁, а скорость правого V₂, то точка О, расположенная посредине между их центрами O₁ и O₂, движется с постоянной скоростью V = ½ (V₁ + V₂). Точка О, конечно, представляет собой центр тяжести (точнее, центр масс) мячей, который сохраняет состояние равномерного прямолинейного движения, если на мячи не действуют внешние силы. Пока мячи не соприкасаются, точка O₁ движется относительно точки О со скоростью v = ½ (v₁ - v₂), а O₂ — со скоростью - v. В момент соприкосновения t = t₀ мячи начинают сминаться, а их центр масс продолжает двигаться со скоростью V. Через небольшой промежуток времени ½ (t'₀ - t₀) относительное движение мячей прекращается, и они начинают отталкиваться друг от друга. Таким образом, в момент ½ (t'₀ + t₀) вся кинетическая энергия относительного движения перешла в потенциальную энергию сжатой резины, и «центры» мячей O₁ и O₂ движутся в этот момент с одинаковой скоростью V. За время ½ (t'₀ - t₀) мячи принимают прежнюю форму. Если пренебречь потерями энергии на разогрев мячей и энергией остаточных колебаний резины, то в момент t'₀ они будут двигаться относительно центра масс О со скоростями - v и v. После удара направление относительного движения просто изменится на противоположное, так что теперь O₁ движется со скоростью V - v = v₂, а O₂ — со скоростью V + v = v₁.

Итак, мячи не просто обменялись скоростями, но и, сверх того, как ясно видно на рисунке, центр O₂ теперь несколько опережает точку O'₁, в которой находился бы первый мяч, если бы столкновения не было, а O₁ несколько отстает от O'₂. Такой сдвиг всегда происходит, если время взаимодействия мячей t'₀ - t₀ достаточно мало. Читатель может сам убедиться, что при достаточно большом времени взаимодействия O₂, наоборот, отстанет от O'₁, а O₁ опередит O'₂. Hемного труднее найти то значение времени взаимодействия, при котором O₂ совпадает с O'₁, а O₁ — c O'₂ (о т в е т: , R — радиус мячей). Интересно также найти O₂ - O'₁ = O'₂ - O₁ при известных значениях v₁, v₂, t'₀ - t₀ (о т в е т: ).

Эффект ускорения и отставания становится тем более заметным чем больше размер мячей и меньше их относительная скорость (здесь, конечно, предполагается, что время взаимодействия t'₀ - t₀ не очень сильно зависит от относительной скорости). Такую же зависимость от относительной скорости можно наблюдать и во взаимодействии уединенных волн. Конечно, она сложнее, так как уединенная волна не имеет резкой границы и отличается от мяча и в других отношениях.