Читать «Истина в пределе. Анализ бесконечно малых» онлайн - страница 19

Расчет угла наклона касательной

Методы анализа бесконечно малых, связанные с расчетами угла наклона касательной, наряду с задачами вычисления объемов и площадей относятся к числу задач, изучение которых привело к появлению математического анализа.

Само понятие касательной, «прямой, которая касается кривой в одной точке», вызвало множество трудностей, так как с помощью аналитической геометрии Ферма и Декарта можно было с легкостью вводить новые кривые, и, как следствие, предметом изучения математиков стал широкий спектр различных кривых. В этом смысле интересный пример представляют логарифмы, появившиеся как средство упрощения операций умножения, деления и извлечения корня из больших чисел, что использовалось в астрономических наблюдениях. Это позволило составить очень точные таблицы положений звезд и небесных тел. В итоге была введена логарифмическая функция и соответствующая ей кривая, для которой можно вычислить ограниченную ею площадь, угол наклона касательной и так далее. Рост числа изучаемых кривых привел к тому, что старое определение касательной как прямой, которая касается кривой в одной точке, стало не вполне удобным. Кроме того, потребовались новые методы нахождения касательных к новым кривым. Следует упомянуть метод, предложенный Ферма, также применимый в задачах определения максимумов и минимумов и для спрямления кривых. В знак признания этих и других работ о квадратурах некоторые французские математики XVII века (французом был и Ферма) считали его создателем математического анализа. Важность этих результатов Ферма несколько преувеличена, но сам Ньютон в письме, найденном в 1934 году, признавал, что в своих работах по математическому анализу он опирался на метод касательных Ферма: «Указание я получил из метода касательных Ферма. Применив его к абстрактным уравнениям прямым и обратным способом, я придал этому методу общий характер». Как бы то ни было, Ферма, «король среди любителей», как называл его шотландский математик и писатель Эрик Темпл Белл, имея в виду его непрофессиональные занятия математикой, занимает почетное место в истории науки. Это право он заслужил не только за предполагаемое доказательство своей знаменитой теоремы, для которого оказались «слишком узки» поля книги.

Другие математики, помимо Ферма, также разработали новые методы для определения углов наклона касательных, но практически во всех использовались бесконечно малые величины. Так, можно упомянуть Роберваля и его кинематический метод для нахождения касательной к спирали, который также использовали Галилей, Торричелли и Архимед. Заслуживает упоминания Декарт и его метод, представленный в труде «Геометрия», а также Барроу, Худде, де Слюза и их псевдодифференциальные методы. Все они обладали схожими недостатками: они были в достаточной степени применимы к алгебраическим кривым, но требовали изменений для каждой конкретной кривой, что было чрезвычайно сложно, а иногда и вовсе невозможно сделать для трансцендентных кривых. Все эти методы были унифицированы с помощью дифференциала, введенного Лейбницем, и флюксии, введенной Ньютоном. Эти понятия были близки к современной производной.