Читать «Истина в пределе. Анализ бесконечно малых» онлайн - страница 14

В начале XVII века было восстановлено практически все математическое и научное наследие Древней Греции, сохранившееся после бурных времен Средневековья. Хотя «Начала» Евклида и другие базовые труды были хорошо известны и изучены, более глубокие и сложные трактаты, в частности книги Архимеда, были поняты лишь несколько десятилетий спустя. Их освоение сыграло решающую роль в создании анализа бесконечно малых. Некоторые из отцов-основателей исчисления, в частности Валлис и Барроу, имели в личной библиотеке экземпляры трудов Архимеда. Достаточно сказать, что Архимед был наиболее цитируемым автором во всех книгах о вычислении площадей и объемов, написанных в течение всего этого столетия.

Однако один из аспектов математики Архимеда и древнегреческой математики вообще радикально изменился. Речь идет о логической строгости изложения. Математика XVII века была намного менее строгой и четкой, чем древнегреческая. Может показаться, что это был шаг назад, однако именно эта смена парадигмы в итоге позволила преодолеть границы, обозначенные в древнегреческой математике, и, в частности, создать математический анализ. В отличие от ученых Древней Греции, математиков XVII века интересовали открытия, а не безупречно строгие доказательства.

Чем была вызвана эта смена парадигмы? Этому можно привести различные объяснения, в том числе и философские: ученые XVII века не находились под влиянием философии Платона, которой и была обусловлена строгость логического изложения, свойственная греческой математике. Причины этому могут носить исторический характер: XVI и XVII века были временем самых разнообразных открытий: географических (открытие Америки в конце XV века стало результатом не точных логических рассуждений, а, напротив, ошибки Колумба при вычислении радиуса Земли), астрономических (гелиоцентрическая теория Коперника), медицинских (кровообращение) и технических (изобретение книгопечатания Гуттенбергом, создание микроскопа и телескопа).

Математики предпочитали уделять основное внимание разработке новых методов, с помощью которых можно было совершать открытия, не заботясь о логической строгости этих методов. В рамках такого подхода бесконечность использовалась без аристотелевских ограничений, и бесконечно малые и бесконечно большие величины стали применяться очень широко. Изначально они применялись для вычисления площадей, объемов, углов наклона касательных, центров тяжести, максимумов, минимумов и так далее. Решением этих задач занималась целая плеяда математиков начала XVII века, так называемые предшественники математического анализа. Позднее бесконечно малые позволили Ньютону и Лейбницу создать две похожие версии анализа бесконечно малых. Наконец, уже в XVIII веке Эйлер, несомненно, великий знаток бесконечного, создал математический анализ, в котором функции изучались с помощью методов анализа бесконечно малых.