Читать «Мир математики. т.30. Музыка сфер. Астрономия и математика» онлайн - страница 77

По определению, параллакс Венеры равен:

параллакс Солнца равен

Подставив эти выражения в приведенное выше уравнение, получим:

В частности, параллакс Солнца β_s будет рассчитываться так:

где Δβ — расстояние между двумя траекториями Венеры, видимыми из различных точек земной поверхности, а отношение r_t/r_v можно рассчитать по третьему закону Кеплера. Куб этого отношения должен быть пропорционален квадрату отношения периодов обращения планет вокруг Солнца. Периоды обращения Венеры и Земли известны и равны 224,7 дня и 365,25 дня соответственно. Таким образом, параллакс Солнца β_s удовлетворяет соотношению:

β_s = 0,38248 Δβ.

Δβ определяется на основе результатов наблюдений из точек А и В, находящихся на одном меридиане. Мы используем рисунок XVIII века, на котором изображена траектория Венеры, видимая из разных точек одного меридиана при транзите.

Рассчитать Δβ можно разными способами:

1. Простейший способ — непосредственное измерение по рисунку, приведенному на странице 159: достаточно рассмотреть отношение диаметра Солнца D на рисунке и угловой размер Солнца. Угловой размер Солнца равен 30 минутам дуги, выраженным в радианах. Имеем:

2. Также можно измерить хорды окружности на рисунке. Этот способ точнее, так как измерить длины хорд A₁A₂ и В₁В₂ всегда можно с большей точностью, чем расстояние между этими хордами А’В’.

Рисунок позволяет связать длины хорд A₁A₂ и В₁В₂ с расстоянием между ними, А’В’.

По теореме Пифагора для треугольников SB’В₁ и SA’X₁ получим

3. Вместо расстояний можно отсчитывать время. Достаточно рассмотреть соотношение

где t_A и t_B  — время прохождения A₁A₂ и В₁В₂. Обозначив через t₀ гипотетическое время транзита по всему диску Солнца, через t’ — время, соответствующее Δβ, установим соотношение:

Использовать временные интервалы вместо расстояний следует с осторожностью. Как показано на следующем рисунке, следует различать время внешнего касания (C₁ и С₄) и внутреннего касания (С₂ и С₃) Венеры с диском Солнца. Внутренние касания всегда можно определить точнее, несмотря на искажения, вносимые эффектом черной капли. По этой причине в расчетах учитываются только моменты внутреннего касания.

Наиболее точно можно определить моменты внутреннего касания С₂ и С₃, поэтому именно они используются в расчетах.

На основании результатов наблюдений транзита Венеры 1769 года, полученных в Вардё и Папеэте, получим следующие значения (с учетом того, что расстояние АВ по прямой равно 11425 км).

Расстояние от Земли до Солнца, равное 1 астрономической единице, вычисленное тремя описанными выше методами.

Можно видеть, что точность результатов достаточно высока, если принять во внимание простоту использованных методов. Сегодня расстояние от Земли до Солнца, определяемое как 1 астрономическая единица, принимается равным 149,6∙10⁶ км. Следует отметить, что точность второго результата, полученного методом измерения хорд, выше, так как измерить хорды можно с большей точностью, чем непосредственно Δβ. Последний метод, в котором учитывается время прохождения, представляет интерес, поскольку позволяет провести более четкую аналогию с современными методами. Однако погрешность при этом выше, так как метод требует использования вспомогательной гипотезы, согласно которой скорость движения Венеры во время прохождения по диску Солнца постоянна в течение всего транзита.