Читать «Семантическая концепция истины и основания семантики» онлайн - страница 11
Альфред Тарский
При определении понятия пропозициональной функции для формализованных языков мы обычно пользуемся "рекурсивным методом", т. е. сначала описываем пропозициональные функции простейшего вида (что, как правило, не встречает трудностей), а затем указываем операции, посредством которых из простых могут быть построены более сложные функции. Такой операцией может быть, например, образование логической дизъюнкции или конъюнкции двух данных функций, т. е. соединение их с помощью слов
Что касается понятия выполнимости, то мы могли бы попытаться определить его так: данные объекты выполняют данную функцию, если последняя становится истинным предложением, когда свободные переменные в ней мы заменяем именами этих объектов. В этом смысле, например, снег выполняет пропозициональную функцию
Для определения понятия выполнимости нам лучше вновь обратиться к рекурсивной процедуре. Сначала мы указываем, какие объекты выполняют простейшие пропозициональные функции, а затем формулируем условия, при которых данные объекты выполняют сложную функцию, предполагая при этом, что нам известно, какие объекты выполняют более простые функции, из которых построена сложная функция. Так, например, мы говорим, что данные числа выполняют логическую дизъюнкцию
Как только получено общее определение выполнимости, мы тотчас же замечаем, что оно автоматически применимо также к тем особым пропозициональным функциям, которые не содержат свободных переменных, т. е. к предложениям. Выясняется, что для предложения возможны лишь два случая: предложение выполняется либо всеми объектами, либо ни одним из них. Отсюда мы легко получаем определение истинности и ложности:
(Может показаться странным, что мы избрали окольный путь определения истинности предложений вместо того, чтобы использовать, например, прямую рекурсивную процедуру. Причина заключается в том, что сложные предложения образуются из более простых пропозициональных функций, но не всегда из более простых предложений, поэтому неизвестен общий рекурсивный метод, применимый специально к предложениям.)
Из этого беглого наброска не видно, где и как в рассуждение включается предположение о "большем богатстве" мета-языка. Это выясняется лишь при более детальном и формальном построении.
12. Следствия данного определения.