Читать «Головоломки. Выпуск 2» онлайн - страница 6

3 ч 16¹/₁₁ мин + 32⁸/₁₁ мин = 3 ч 49¹/₁₁ мин и т. д.

Вычислить остальные моменты предоставляю вам самим.

3. Если начать наблюдение за стрелками ровно в 12 часов, то в течение первого часа мы искомого расположения не заметим. Почему? Потому что часовая стрелка проходит ¹/₁₂ того, что проходит минутная, и, следовательно, отстает от нее гораздо больше, чем требуется. На какой бы угол ни отошла от 12 минутная стрелка, часовая повернется на ¹/₁₂ этого угла, а не на ¹/₂, как нам требуется. Но вот прошел час; теперь минутная стрелка стоит у 12, часовая – у 1, на ¹/₁₂ полного оборота впереди минутной. Посмотрим, не может ли такое расположение стрелок наступить в течение второго часа. Допустим, что момент этот наступил тогда, когда часовая стрелка отошла от цифры 12 на долю полного оборота, которую мы обозначим через х. Минутная стрелка успела к этому времени пройти в 12 раз больше, т. е. 12 × х. Если вычесть отсюда один полный оборот, то остаток 12 × х – 1 должен быть вдвое больше, чем х, т. е. равняться 2 × х.

Итак, 12 × х – 1 = 2 × х, откуда следует, что 1 целый оборот равен 10 × х (действительно, 12 × х-10 × х = 2 × х). Но если 10 × х = = целому обороту, то х = ¹/₁₀ части оборота. Вот и решение задачи: часовая стрелка отошла от цифры 12 на ¹/₁₀ полного оборота, на что требуется ¹²/₁₀ ч, или 1 ч 12 мин. Минутная стрелка при этом будет вдвое дальше от 12, т. е. на расстоянии ¹/₅ оборота; это соответствует 60/5 = 12 мин – как и должно быть.

Мы нашли одно решение задачи. Но есть и другие: стрелки в течение двенадцати часов располагаются таким же образом не один раз, а несколько. Попытаемся найти остальные решения.

Для этого дождемся двух часов; минутная стрелка стоит у 12, а часовая – у 2. Рассуждая, как прежде, получаем равенство

12 × х – 2 = 2 × х,

откуда 2 целых оборота равны 10 × х и, значит, х = ¹/₅ целого оборота. Часы будут показывать при этом ¹²/₅ = 2 ч 24 мин.

Дальнейшие моменты читатель легко вычислит сам и найдет, что стрелки располагаются согласно требованию задачи в следующие 10 моментов:

в 1 ч 12 мин

в 2 ч 24 мин

в 3 ч 36 мин

в 4 ч 48 мин

в 6 ч

в 7 ч 12 мин

в 8 ч 24 мин

в 9 ч 36 мин

в 10 ч 48 мин

в 12 ч.

Ответы: «в 6 часов» и «в 12 часов» могут показаться неверными, – но только с первого взгляда. Действительно, в 6 часов часовая стрелка стоит у 6, минутная – у 12, т. е. ровно вдвое дальше от начальной отметки 12 (успев описать один оборот). В 12 же часов часовая стрелка удалена от 12 на нуль, а минутная, если хотите, на «два нуля» (потому что двойной нуль – то же, что и нуль); значит, и этот случай, в сущности, удовлетворяет условию задачи.

4. После сделанных разъяснений решить эту задачу нетрудно. Рассуждая, как прежде, легко сообразить, что в первый раз требуемое расположение стрелок будет в тот момент, который определяется равенством

12 × х – 1 = х/2,

откуда 1 = 11¹/₂ × х, или х = ²/₂₃; целого оборота, т. е. стрелки будут расположены требуемым образом через 1¹/₂₃ ч после 12, т. е. в 1 ч 2¹⁴/₂₃ мин минутная стрелка должна стоять посредине между 12 и 1¹ /₂₃ часами, т. е. на ¹²/₂₃ часа, что как раз и составляет ¹/₂₃ полного оборота (часовая стрелка к этому моменту пройдет ²/₂₃ полного оборота).