Читать «Головоломки. Выпуск 2» онлайн - страница 5

Чем объясняется такой неравномерный ход?

Решения задач 1-10

1. Начнем наблюдать за движением стрелок в 12 часов. В этот момент одна стрелка покрывает другую. Так как часовая стрелка движется в 12 раз медленнее минутной (она описывает полный круг за 12 ч, а минутная за 14 ч), то в течение ближайшего часа стрелки, конечно, встретиться не могут. Но вот прошел час; часовая стрелка стоит у цифры 1, сделав ¹/₁₂ долю полного оборота; минутная же сделала полный оборот и стоит у 12 – на ¹/₁₂ долю круга позади часовой. Теперь условия состязания иные, чем раньше: часовая стрелка движется медленнее минутной, но она впереди, и минутная должна ее догнать. Если бы состязание длилось целый час, то за это время минутная стрелка прошла бы полный круг, а часовая – ¹/₁₂ круга» т. е. минутная сделала бы на ¹/₁₂ круга больше. Но чтобы догнать часовую стрелку, минутной нужно пройти больше, чем часовой, только на ту ¹/₁₂ долю круга, которая их отделяет. Для этого потребуется времени не целый час, а меньше во столько раз, во сколько ¹/₁₂ меньше ¹/₁₁ т. е. в 11 раз. Значит, стрелки встретятся через ¹/₁₁ ч, т. е. через 60/11 = ⁵/₁₁ мин.

Итак, встреча стрелок случится спустя 5¹/₁₁ мин после часа дня, т. е. в 5¹/₁₁ мин второго.

Когда же произойдет следующая встреча?

Нетрудно сообразить, что это случится через 1 час 5¹/₁₁ мин, т. е. в 2 ч 10¹/₂ мин. Следующая – спустя еще 1 час 5⁵/₁₁ мин, т. е. в 3 ч 16⁴/₁₁ мин, и т. д. Всех встреч, как легко видеть, будет 11; последняя наступит через 1¹/₁₁ × 11 = 12 ч после первой, т. е. в 12 ч; другими словами, очередная встреча стрелок совпадает с самой первой и дальнейшие встречи повторятся снова в известные моменты.

Вот полный перечень встреч:

2. Эта задача решается весьма сходно с предыдущей. Начнем опять с 12 ч, когда положение стрелок одинаково. Нужно вычислить, сколько времени потребуется для того, чтобы минутная стрелка обогнала часовую ровно на полкруга – тогда стрелки и будут направлены как раз в противоположные стороны. Мы уже знаем (см. предыдущую задачу), что в течение целого часа минутная стрелка обгоняет часовую на ¹/₁₁ полного круга; чтобы обогнать ее всего на ¹/₂ круга, понадобится меньше времени, чем целый час. Причем, во столько раз, во сколько ¹/₂ меньше ¹/₁₂, т. е. потребуется всего ⁶/₁₁ ч. Значит, после 12 часов стрелки в первый раз располагаются одна против другой спустя ⁶/₁₁ ч, или 32⁸/₁₁ мин. Взгляните на часы, когда стрелки направлены в противоположные стороны.

Единственный ли это момент, когда стрелки так расположены? Конечно, нет. Такое положение стрелки занимают спустя 32⁸/₁₁ минуты после каждой встречи. А мы уже знаем, что встреч бывает 11 в течение двенадцати часов; значит, и располагаются стрелки врозь тоже 11 раз в течение 12 часов. Найти эти моменты нетрудно:

12 ч + 32⁸/₁₁ мин = 12 ч 32⁸/₁₁ мин,

1 ч 5⁵/₁₁ мин + 32⁸/₁₁ мин = 1 ч 38⁷/₁₁ мин,

2 ч 10¹⁰/₁₁ мин + 32⁸/₁₁ мин = 2 ч 43⁷/₁₁ мин,