Читать «Математика. Утрата определенности.» онлайн - страница 389

165

Напомним, что в те времена под словом «геометрия» часто понималась вся математика.

166

Довольно распространенным ныне является такое «определение» (математического) доказательства: доказательство — это рассуждение, которое убеждает нас в справедливости теоремы. При этом вполне допустимо (и даже неизбежно) сосуществование в одной стране и в одно время совершенно разных уровней строгости допустимых доказательств в зависимости от научных школ или даже математических дисциплин (скажем, математическая логика и дифференциальная геометрия).

167

Карл Раймунд Поппер выдвинул также так называемый принцип фальсификации (опровержимости), согласно которому критерий научности теории задается возможностью опытного ее опровержения.

168

Название книги Клейна (Elementarmathematik vom höheren Standpunkte aus) точнее было бы перевести как «Элементарная математика с высшей точки зрения». — Прим. ред.

169

Ср. со сказанным в гл. .

170

Противоположной точки зрения придерживался Гильберт — см. приведенную  цитату из его статьи «О бесконечном» или с. 22 книги [51]. Популярно также известное высказывание А. Эйнштейна: «Самое непостижимое во Вселенной — это то, что она все-таки постижима».

171

Ср. с примечанием к Введению.

172

Здесь естественно вспомнить о знаменитом физическом принципе неопределенности Гейзенберга, одна из распространенных интерпретаций которого говорит о неизбежном изменении физической интуиции при попытке ее наблюдения, скажем, об отклонении частицы от первоначального положения при падении на нее фотона света, без чего частицу нельзя увидеть. Аналогично этому филологи иногда говорят об определенной деформации природного явления при описании его на том или ином языке (Аристотель говорил о бесконечности природных явлений и конечности числа слов любого языка) и т.д.

173

Так, от Вейля идет, в частности, важная идея классификации физических объектов по свойственным им группам симметрии [121] (независимо от Вейля эту идею выдвинул в 1963 г. американский физик венгерского происхождения Юджин (Эуген) Вигнер (1963), уже после смерти Вейля удостоенный за нее Нобелевской премий по физике); Вейлю же принадлежит первый, притом выдающийся, учебник [122] общей теории относительности, содержащий свежие физические идеи, сыгравшие большую роль в дальнейшем прогрессе физической науки (ср., например, [123], а также [124]).

174

Учебник математической логики [125] отличается от многих других пособий широким обсуждением (гл. 1-4, с. 17-244) общих вопросов (смежных между математической логикой и философией математики) обоснования математической науки; с этой точки зрения вдумчивому читателю, желающему глубже ознакомиться с затронутыми в настоящей книге вопросами, вполне можно порекомендовать книгу [125] наряду, скажем, с классическим сочинением [86]* и довольно сложными, но высокосодержательными книгами [81].