Читать «Фейнмановские лекции по физике 1. Современная наука о природе, законы механики» онлайн - страница 163

С потенциальной энергией можно сделать то же самое. Так как потенциальная энергия, интеграл от (Сила)•(ds), может быть записана в виде массы m, умноженной на интеграл от (Поле)•(ds) – это простое изменение масштаба, – то потенциальную энергию U(x, у, z) тела, расположенного в точке (х, у, z), можно записать как произведение m на другую функцию. Назовем ее потенциалом ?.. Интеграл ?C•ds равен

— ?, подобно тому как ?F•ds=-U; они отличаются только

масштабом:

U= -?F•ds=-m?C•ds=m?. (14.7)

Зная в каждой точке пространства эту функцию ? (х, y, z), можно немедленно вычислить потенциальную энергию тела в любой точке, а именно U(x, у, z) – m? (х, у, z). Теперь, как видите, это стало делом пустяковым. Но на самом деле это отнюдь не пустяк, потому что иногда намного приятнее описать поле, задав распределение потенциала во всем пространстве, чем задавать С. Вместо трех сложных компонент векторной функции проще задать скалярную функцию ?. Кроме того, когда поле создается многими массами, величину ? рассчитывать легче, чем три компоненты С: потенциалы–скаляры, их можно просто складывать, не заботясь о направлениях сил. А поле С, как мы сейчас увидим, легко восстановить, зная ?. Пусть у нас есть точечные массы m₁, m₂,… в точках 1, 2…, и мы хотим знать потенциал ? в некоторой произвольной точке Р. Тогда он оказывается простой суммой потенциалов отдельных масс в точке Р:

Этой формулой, представляющей потенциал в виде суммы потенциалов отдельных масс, мы пользовались в предыдущей главе, чтобы вычислить потенциал сферического слоя (мы тогда сложили потенциалы всех поясков, на какие был нарезан слой). Итог расчета показан на фиг. 14.4.

Фиг. 14.4. Потенциал тяготеющего сферического слоя радиусом а.

Потенциал отрицателен, равен нулю на бесконечности, падает как 1/r, пока r не станет равным а, и затем внутри слоя становится постоянным. Вне слоя потенциал равен –Gm/r (т– масса слоя), что полностью совпадает с потенциалом точки с массой т, помещенной в центре сферического слоя. Но такое совпадение существует только для точек снаружи слоя, а во внутренних точках потенциал оказывается равным –Gm/a и больше не меняется! А когда потенциал постоянен, то поля нет: если потенциальная энергия не меняется, то сила отсутствует, потому что, когда мы двигаем тело из одной внутренней точки в другую, работа, выполняемая силой, в точности равна нулю. Почему? Да потому, что работа передвижения тела из одной точки в другую равна минус изменению потенциальной энергии (или соответствующий интеграл от поля равен изменению потенциала). Но потенциальная энергия в обеих точках одинакова, значит, ее изменение равно нулю, и поэтому никакой работы при любых движениях внутри сферического слоя не производится. А это возможно лишь тогда, когда внутри слоя нет никаких сил.